Supongamos que $\phi$ es una solución de $\Delta \phi = f \in \mathcal{H}^1$. Entonces $\phi\in W^{2,1}$

Question

Estoy tratando de probar la declaración en el título de una manera tan simple como sea posible. Es Teorema 3.2.9 en Helein del libro "Armónico mapas, leyes de conservación, y mover fotogramas", aunque no se demostró allí. La instrucción es la siguiente.

Supongamos $\phi\in\mathbb{R}^m$ es una solución débil de $\Delta \phi = f \in \mathcal{H}^1$ donde $\mathcal{H}^1$ es el estándar de Hardy espacio en $\mathbb{R}^m$. Entonces $$ \Big\lVert\frac{\partial^2\phi}{\partial x^\alpha \partial x^\beta}\Big\rVert_{L^1(\mathbb{R}^m)} \le C\lVert f \rVert_{\mathcal{H}^1(\mathbb{R}^m)}. $$

Mi idea es usar la convolución con el kernel de la Laplaciano, y luego se diferencian, estimado en $L^1$ y de alguna manera interpolar entre el $\mathcal H^1$ $BMO$ normas. A continuación, dado que el núcleo de la Laplaciano es en $BMO$, he terminado. Sin embargo, hay dos problemas con mi prueba: no sé cómo demostrar que uno puede interpolar una convolución entre la $\mathcal H^1$ $BMO$ (descomposición atómica?) y no sé cómo demostrar que el núcleo de la Laplaciano es en $BMO$.

¿Alguien tiene una mejor forma de demostrar este teorema, o una manera de arreglar mi prueba? Gracias!

Answer 1

Déjame tomar una prueba:

Recordemos que el Riesz transformar está delimitado de $\mathcal H^1$ $\mathcal H^1$(y de$L^2$$L^2$).

Tenemos la desigualdad

$$\|\partial_i \partial_j u \|_{L^2} \leq \| \Delta u \|_{L^2}.$$

Esto es debido a que $R_i R_j \Delta u = \partial_i \partial_j u$ donde $R_i$ $i$- th Riesz transformar. Ahora, porque la Riesz transformar también es $\mathcal H^1$ delimitada tenemos

$$\|\partial_i \partial_j u \|_{\mathcal H^1} \leq \| \Delta u \|_{\mathcal H^1}.$$

Pero el $L^1$ norma está dominado por la $\mathcal H^1$ norma para

$$\|\partial_i \partial_j u \|_{L^1} \leq \| \Delta u \|_{\mathcal H^1}.$$

Nota además de que

$$t f'(s) = f(t + s) - f(s) - \int_0^1 f''(s+r)(t - r) \, dr$$

y una declaración similar se tiene para derivadas parciales. Esto implica que podemos controlar la derivada primera por la segunda, y de la propia función. Esto debería dar el resultado, tal como solicitó en el título.

Alternativamente podemos utilizar Mikhlin multiplicador del teorema de $\mathcal H^1$ para la segunda parte.