¿Cómo probar esta definición alternativa del radical de Jacobson?

Question

En este papel He encontrado la siguiente caracterización del radical de Jacobson de un álgebra matricial $A$ de dimensión $n$ : $$\operatorname{Rad}(A) =\{x \in A \mid x^n = 0 \text{ and } \forall_{y\in A}(xy)^n=0\} $$ Intenté iniciar una prueba basada en el principio de que un $A$ -módulo $M$ es simple $\iff M \cong A/I$ para algún ideal máximo de la izquierda $I$ . Sea $I$ ser tal ideal y $\pi:A \rightarrow A/I$ la proyección natural. Las propiedades de $x$ y $y$ se proyectan sobre el cociente dando $\pi(x)^n=0$ y $\pi(xy)^n = 0$ . Esperando que esto contradiga la simplicidad de $M$ a menos que $\pi(x) = 0$ esto demuestra que $x \in I$ para todo ideal izquierdo maximal $I$ así que $x \in \operatorname{Rad}(A)$ . Siendo un absoluto novato en anillos no conmutativos no fui capaz de encontrar tal contradicción.

Por otra parte, si $x \in \operatorname{Rad}(A)$ entonces $x^n = 0$ ya que todos los elementos del radical son nilpotentes y además $(xy)^n=0$ porque $xy$ también pertenece al radical.

Answer 1

En una dimensión finita $F$ -cada elemento del radical de Jacobson es nilpotente, porque el radical de Jacobson de un anillo artiniano es nilpotente.

Si $x$ es nilpotente, entonces $1-x$ es invertible. Por lo tanto, si $xy$ es nilpotente para cada $y\in A$ entonces $1-xy$ es invertible a la derecha para cada $y\in A$ y por lo tanto $x$ pertenece al radical de Jacobson.

Un elemento $x\in M_n(F)$ es nilpotente si y sólo si $x^n=0$ .

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Demostremos el lema: Si $R$ es un anillo y $x\in R$ entonces $x\in J(R)$ si y sólo si, para cada $y\in R$ , $1-xy$ es invertible a la derecha.

Supongamos que $x\in J(R)$ y considerar $1-xy$ . Si $1-xy$ no es invertible a la derecha, entonces $1-xy$ pertenece a un ideal maximal derecho $I$ ya que $xy\in I$ también, obtenemos $1\in I$ imposible.

Por el contrario, si $1-xy$ es invertible a la derecha para cada $y\in R$ y $I$ es un ideal maximal derecho, entonces $x\notin I$ implica $1=xy+z$ con $z\in I$ pero entonces $z=1-xy$ es invertible a la derecha: contradicción. Por lo tanto $x\in I$ y, puesto que $I$ es arbitraria, $x\in J(R)$ (la intersección de todos los ideales maximales derechos).