Tipo de ciclo de una permutación en $S_n$ y su relación con la partición de $n$ y su diagrama de Young

Question

Se que es posible asignar a cada permutación su tipo de ciclo. Encontré dos definiciones del tipo de ciclo y su relación con una partición de $n$:

Primera definición

Dada $\sigma \in S_n$ escrita como producto de $l$ ciclos de longitudes $(k_1,\dots,k_l)$, el tipo de ciclo es simplemente $(k_1,\dots,k_l)$. Luego, ordenando el producto de manera que $k_1 \geq k_2 \geq \dots \geq k_l$ y viendo que $\sum_i k_i = n$, se obtiene que $(k_1,\dots,k_l)$ es una partición de $n$.

Segunda definición

Dada $\sigma \in S_n$ el tipo de ciclo es la lista $(w_1,...,w_n)$ donde $w_i$ es el número de ciclos $i$ en el producto. Luego es posible construir una partición $\lambda = (\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ de $n$ de la siguiente manera:

• $\lambda_1 = \sum_{i=1}^{n} w_i$
• $\lambda_2 = \sum_{i=2}^{n} w_i$
• $\dots$
• $\lambda_n = w_n$

dado que $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_n$ y $\sum_{i=1}^{n} \lambda_i = n$ sabemos que $\lambda$ es de hecho una partición de $n$.

Diagrama de Young

Se que podemos mostrar una partición gráficamente usando un diagrama de Young donde cada fila, empezando desde arriba (en el estilo inglés), contiene un número de casillas que es igual al número i-ésimo listado en la partición.

Entonces, según las definiciones anteriores, un diagrama de Young tendría $k_1$ o $\lambda_1$ en su primera fila, luego $k_2$ o $\lambda_2$ en su segunda fila y así sucesivamente.

Pregunta Me estoy confundiendo porque cuando aplico estas dos definiciones, dada una $\sigma \in S_n$ obtengo dos particiones diferentes y por lo tanto dos diagramas de Young diferentes.

Por ejemplo, sea $\sigma = (123)(45) \in S_5$. Si usamos la primera definición, el tipo de ciclo sería $(3,2)$ y el diagrama de Young correspondiente tendría $3$ casillas en la primera fila y $2$ casillas en la segunda.

Sin embargo, si usamos la segunda definición el tipo de ciclo ($w$) sería $(0,1,1,0,0)$ mientras que la partición ($\lambda$) sería $(2, 2, 1, 0, 0)$ de modo que el diagrama de Young tendría $2$ casillas en la primera fila, $2$ casillas en la segunda fila y $1$ casilla en la tercera fila.

¿Cuál es la definición correcta?

Gracias.

Answer 1

Nunca he visto la segunda definición, para ser honesto. Para mí, el tipo de ciclo está dado por la primera y al menos para mí, esa es la clásica. A menudo uno define el tipo de ciclo para ver que el tipo de ciclo determina la clase de conjugación, es decir, dos permutaciones tienen el mismo tipo de ciclo si y solo si son conjugadas y para mí eso es más intuitivo a través de la primera. Sin embargo, hay una manera de convertirlas en una y otra mediante conjugación.