Yo no rompería la simetría de la configuración, y en su lugar iría con $4$ coordenadas (baricéntricas). Digamos
$$t:=P(a\wedge b)\qquad u:=P(\neg a\wedge b)\qquad v:=P(a\wedge\neg b)\qquad w:=P(\neg a\wedge\neg b)\\ P(a)=t+v\qquad P(\neg a)=u+w\qquad P(b)=t+u\qquad P(\neg b)=v+w\\ 0\le t,u,v,w\le 1\qquad t+u+v+w=1$$
Ahora expresa la independencia como has sugerido:
$$t=P(a\wedge b)=P(a)P(b)=(t+v)(t+u)$$
Pero ésta no es una ecuación homogénea, es decir, no tiene el mismo grado total en cada monomio. Mejor multiplicar el lado izquierdo por $t+u+v+w$ (que es igual a $1$ ) para obtener
\begin{align*} t(t+u+v+w)&=(t+v)(t+u)\\ t^2+tu+tv+tw&=t^2+tu+tv+uv\\ tw&=uv \end{align*}
Haciendo cálculos similares se obtiene
\begin{align*} u(t+u+v+w)&=(u+w)(t+u) & uv &= tw \\ v(t+u+v+w)&=(t+v)(v+w) & uv &= tw \\ w(t+u+v+w)&=(u+w)(v+w) & tw &= uv \end{align*}
por lo que es todo la misma ecuación única de grado $2$ .
Como ya escribió Ethan Bolker en un comentario, la superficie que describe esta ecuación es una paraboloide hiperbólico . Dado que es una superficie doblemente reglada, tiene dos rectas en cada punto, lo que se deduce de las líneas verdes de tu diagrama.
Puedes construir fácilmente un modelo de esto usando cuerdas para las líneas. Una vez vi un modelo que tenía cuatro caras de un cubo como estructura exterior, utilizando cada esquina del cubo como una esquina del tetraedro. Se podía plegar manteniendo la tensión de las cuerdas para que no se enredaran. Las cuatro aristas del tetraedro que coinciden con las líneas de esta superficie serían diagonales de las caras laterales, mientras que las dos aristas restantes serían diagonales de las caras superior e inferior omitidas del cubo.
En realidad vamos a hacer este enfoque basado en cubos con coordenadas, utilizando el $[-1,1]^3$ cubo, para obtener una ecuación de coordenadas 3d "adecuada". Utilizaré el $z$ como vertical, es decir, las caras $z=\pm1$ no compartiría una línea con la superficie.
$$ \begin{pmatrix}x\\y\\y\end{pmatrix}:= t\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+ u\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\end{pmatrix}+ v\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}+ w\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}t+u-v-w\\t-u+v-w\\t-u-v+w\end{pmatrix} $$
Teniendo en cuenta que $t+u+v+w=1$ puedes utilizar una matriz inversa para invertir este cálculo.
$$\begin{pmatrix} 1&1&-1&-1\\ 1&-1&1&-1\\ 1&-1&-1&1\\ 1&1&1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}t\\u\\v\\w\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}t\\u\\v\\w\end{pmatrix}= \frac14\begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ 1&-1&-1&1\\ -1&1&-1&1\\ -1&-1&1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}= \frac14 \begin{pmatrix}x+y+z+1\\x-y-z+1\\-x+y-z+1\\-x-y+z+1\end{pmatrix} $$
Cuando se introduce esto en la ecuación de la superficie, el factor de $\tfrac14$ en todas partes se anulará, así que lo omitiré directamente.
\begin{align*} tw&=uv\\ (x+y+z+1)(-x-y+z+1)&=(x-y-z+1)(-x+y-z+1)\\ -x^2 - 2 x y - y^2 + z^2 + 2 z + 1 &= -x^2 + 2 x y - y^2 + z^2 - 2 z + 1 \\ 4z &= 4xy \\ z &= xy \end{align*}
Es fácil ver que si se fija, por ejemplo, el $y$ coordenada, entonces el $z$ será lineal en $x$ . En otras palabras, la superficie $z=xy$ interseca un plano de $y$ coordenada en una línea de $(-1,y,-y)$ a $(1,y,y)$ . Del mismo modo, para la otra dirección se obtienen líneas de $(x,-1,-x)$ a $(x,1,x)$ . Esta es la doble regla, estas líneas son las cuerdas del modelo físico.
