Recientemente me he interesado por la Teoría de los Conjuntos Difusos y he estado leyendo George J. Klir y Bo Yuan. 1994. Fuzzy sets and fuzzy logic: theory and applications. Prentice-Hall, Inc., EE.UU..
Donde los autores definen la unión estándar de dos conjuntos difusos $A, B \in \mathcal{F}(X)$ donde $X$ es el conjunto universo y $\mathcal{F}(X)$ es el conjunto de potencias difusas de $X$ como $$ (A \cup B)(x) = max[A(x), B(x)] \; \; \forall x \in X $$
Dónde $A(x)$ denota la función de pertenencia del conjunto difuso $A$ y análogamente para $B$ .
En otro libro ( Gottwald, Siegfried & Bandemer, Hans. (1995). Fuzzy Sets, Fuzzy Logic, Fuzzy Methods with Applications (Conjuntos difusos, lógica difusa, métodos difusos con aplicaciones). ), definen la unión estándar de dos conjuntos difusos igual que antes, pero también definen un generalizada unión para una familia de conjuntos difusos $(A_i| i \in \mathcal{I})$ donde $\mathcal{I}$ es el índice establecido como
$$ (\bigcup_{i \in \mathcal{I}} A_i)(x) = \sup_{i \in \mathcal{I}} A_i(x) \; \forall x \in X $$
Estoy bajo la suposición de que esta definición es la generalización de la unión estándar de 2 conjuntos difusos y bajo esta suposición, tengo algunas preguntas
¿La sustitución del operador max por el operador supremum altera la definición de la operación Unión?
Entiendo que si un conjunto tiene un máximo entonces tendrá un supremum cuyo valor es el máximo. Y si un conjunto tiene un supremum y si este supremum pertenece al conjunto, entonces este supremum es también el máximo. Pero, según tengo entendido, es posible que los conjuntos tengan un supremum y no un máximo, por lo que ¿la sustitución del operador max por el operador supremum altera la definición original de la unión estándar (definida mediante el operador max)?
¿O sólo se utilizó el operador máximo en la definición de la unión estándar de 2 conjuntos difusos porque el máximo de un número finito de elementos (o el máximo de un conjunto finito) existe y, por tanto, también sería el sumo?
Antes de postear leí las siguientes respuestas, pero no me ayudaron del todo:
También en el segundo enlace, el autor afirma y cito textualmente
Así, se puede sustituir $max$ por $sup$ en cualquier contexto y no utilizar nunca $max$
¿Es esto cierto?
Pido disculpas de antemano si esta pregunta parece trivial, simple o poco intelectual, simplemente creo que no he entendido del todo el concepto de esta generalización.
