Una pregunta de prueba utilizando la Inducción matemática

Question

Tengo dificultades para entender lo que las preguntas esperan que probemos. Entiendo cómo funciona la inducción matemática y cómo hacer lo mismo. Sería de gran ayuda si alguien pudiera explicar en palabras más sencillas lo que significa la pregunta.

Answer 1

La base de la inducción es obvia.

Sea $a^2=a_1^2+...+a_n^2$ .

Por lo tanto, $(2a)^2=(2a_1)^2+...+(2a_n)^2$ .

Así, hay naturales $p$ y $q$ para lo cual $2a=2pq$ y $p>q$ .

Así, $$(p^2+q^2)^2=(2pq)^2+(p^2-q^2)^2=(2a_1)^2+...+(2a_n)^2+(p^2-q^2)^2$$ ¡y ya está!

Answer 2

La pregunta afirma que, al elegir cualquier número natural $n\ge2$ puede encontrar $n+1$ números enteros $a$ , $a_1$ , ..., $a_n$ tal que $$a^2 = a_1^2 + \dots + a_n^2$$ Por ejemplo, para $n=2$ : $$5^2 = 4^2 + 3^2.$$ Ese sería el primer paso para el proceso de inducción. Supongamos ahora que la afirmación se cumple para cualquier número hasta $n-1$ y probarlo para $n$ ...

Answer 3

Debes probar que puedes encontrar enteros positivos $a$ y $a_i$ tal que

$$a^2=a_1^2+a_2^2$$

y (no necesariamente el mismo)

$$a^2=a_1^2+a_2^2+a_3^2$$

y también

$$a^2=a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2$$

etc, ad libitum .

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Por ejemplo,

$$5^2=3^2+4^2,\\13^2=3^2+4^2+12^2,\\2^2=1^2+1^2+1^2+1^2,\\\cdots$$

Answer 4

Tienes que demostrar que hay algún cuadrado que se puede escribir como la suma de dos cuadrados, algún cuadrado que se puede escribir como la suma de tres cuadrados, algún cuadrado que se puede escribir como la suma de cuatro cuadrados y así sucesivamente...