Utilizando la desigualdad de Markov

Question

Sea $x_k$ es un proceso estocástico como $k$ progresa. Tengo una pregunta básica sobre el uso de la desigualdad de Markov en este escenario. Por ejemplo, si tengo alguna restricción

$$ Pr\{|x_k|\le \alpha\}\ge \beta $$

¿Cómo podemos utilizar la desigualdad de Markov para obtener la expresión en términos de la expectativa de $|x_k|$ , $E\{|x_k|\}$ ? Gracias.

Answer 1

Utilicemos primero un poco de intuición. Su restricción dice que $|x|$ es menor que $\alpha$ con una probabilidad de al menos $\beta$ . ¿Puede darnos alguna información sobre el valor esperado de $|x|$ ? Desgraciadamente, no. Por un lado, nada impide que el caso de que $\mathsf E|x| = 0$ ya que el caso $x\equiv 0$ siempre satisfacen sus limitaciones. Por otro lado, la expectativa puede ser tan grande como sea posible. En efecto, consideremos $$ y = \begin{cases} 0,&\text{ with probability } \beta \\ n,&\text{ with probability }1-\beta. \end{cases} $$ Claramente, $ \mathsf Ey = n(1-\beta) $ puede ser cualquier número real si $\beta<1$ . Como resultado, a menos que tengas un caso trivial $\beta = 1$ en cuyo caso $\mathsf E|x|\leq \alpha$ , su restricción no proporciona ninguna garantía para la expectativa.

El truco de Markov-inequality-like-bounds es escribir la expectativa como una integral, y luego restringir su atención a la región que aparece en la probabilidad. Pero como trabajamos con una variable aleatoria no negativa, sólo los límites de la forma $$ \mathsf P\{|x|\geq a\}\geq b \tag{1} $$ son útiles. O alternativamente, límites de la forma $$ \mathsf P\{|x|\leq c\}\leq d $$ ya que se pueden reformular como $$ \mathsf P\{|x|\geq c\}\geq 1-d. $$

Siempre que la restricción de la forma $(1)$ denotamos $$ A = \{\omega\in \Omega:|x(\omega)|\geq a\} $$ para que sepamos que $\mathsf P(A)\geq b$ . Además, $|x(\omega)|\geq a$ para cualquier $\omega\in A$ . Como resultado: $$ \mathsf E|x| = \int_\Omega |x(\omega)|\mathsf P(\mathrm d\omega)\geq\int_A |x(\omega)|\mathsf P(\mathrm d\omega) \geq \int_A a\mathsf P(\mathrm d\omega) \geq a\cdot b. $$

En resumen: las restricciones que tiene no ofrecen ninguna garantía sobre el valor esperado. Para tales garantías se necesita algo como $(1)$ .