Inverso de la gavilla invertible

Question

Sea $\mathcal{L}$ be sheaf on scheme $X$ tal que localmente es $\mathcal{O}$ quiero demostrar que $$\mathrm{Hom}(\mathcal{L},\mathcal{O})\otimes \mathcal{L} \simeq \mathcal{O}$$ es bastante obvio intuitivamente o si consideramos haces de líneas. ¿Puede alguien explicarlo en detalle?

Answer 1

Tenemos un mapa natural $\mathscr{Hom}(\mathscr L, \mathscr O) \otimes \mathscr L \to \mathscr O$ dado por $\varphi \otimes g \mapsto \varphi(f)$ . De hecho, la cubierta $X$ por afines tal que la fórmula tenga sentido, y nótese que la misma fórmula se mantiene en las intersecciones, por lo que tenemos un mapa global bien definido.

Ahora podemos considerar los tallos de estas dos láminas en un punto cerrado $P \in X$ . Pero como $\mathscr L$ es localmente libre, $\mathscr L_P \simeq \mathscr O_P$ por lo que obtenemos $\mathscr{Hom}(\mathscr O_P, \mathscr O_P) \otimes \mathscr O_P \to \mathscr O_P$ que es un isomorfismo.

Por lo tanto el mapa es localmente un isomorfismo, por lo tanto es un isomorfismo.