¿Cómo se calcula realmente el índice topológico en Atiyah-Singer?

Question

Esto es migrado por math.stackexchange ya que no he recibido respuesta. No sé si es demasiado ingenuo para este sitio.

Este semestre estoy recibiendo una clase magistral de Atiyah-Singer. Aunque la clase avanza muy lentamente (acabamos de ver cómo utilizar Atiyah-Singer para demostrar Gauss-Bonnet y de introducir los operadores pseudodiferenciales), me pregunto hasta qué punto es práctico este teorema. La siguiente pregunta es de carácter general:

Supongamos que tenemos una EDP dada por cierto operador diferencial elíptico, ¿cómo de computable es el índice topológico de este operador diferencial? Si damos ciertas condiciones de contorno en el dominio (por ejemplo, el círculo unitario con un punto eliminado, un triángulo, un cuadrado, etc), ¿podemos extender el $K$ -prueba teórica a este caso? Sé que la $K$ -en la literatura, pero que yo sepa esta prueba es muy abstracta y no parece ser directamente computable. Ahora bien, si estamos interesados en el aspecto analítico de las cosas, pero no podemos calcular el índice analítico directamente debido a dificultades analíticas, ¿hasta qué punto es difícil calcular el índice topológico en su lugar? No me parece obvio cómo se puede calcular la clase Todd o el carácter de Chern en casos prácticos.

La pregunta viene motivada por la siguiente observación: Dada una estructura algebraica adicional (por ejemplo, si $M$ es un espacio homogéneo, $E$ es un haz con fibra isomorfa a $H$ ) podemos demostrar que Atiyah-Singer puede reducirse a cálculos algebraicos directos. Sin embargo, ¿qué ocurre si la variedad subyacente es realmente mala? ¿Qué ocurre si tiene límites de codimensión 1 o superior? ¿Hasta qué punto es computable el índice si nos encontramos con una singularidad analítica/geométrica?(que aparece con bastante frecuencia en las EDP).

Por otro lado, supongamos que tenemos una variedad con esquinas y conocemos el índice topológico de un determinado operador. ¿Cuántas esperanzas tenemos de recuperar el operador asociado recuperando su símbolo principal? ¿Podemos usar esto para poner ciertos límites analíticos a las variedades (como lo malo que puede ser un operador en ella si el índice está dado)?

Answer 1

Esto no va a ser realmente una respuesta, pero es demasiado largo para ser un comentario y creo que será útil.

En primer lugar, como han señalado los demás autores, conviene evitar los problemas de valores límite y las singularidades al principio. La fórmula del índice habitual no es correcta en este escenario (incluso una vez que consigues formularla correctamente): hay un misterioso término de error llamado "invariante eta". El invariante eta suele ser aún más difícil de calcular que la clase Todd porque no es local y depende de la elección de la métrica riemanniana. Se define en términos de los valores propios de su operador, y en realidad la elaboración de estos requiere un buen montón de simetría para que pueda hacer el análisis armónico.

En segundo lugar, no creo que el objetivo real del teorema del índice sea calcular numéricamente todas las integrales implicadas (aunque está bien que en principio se pueda). A menudo es suficientemente útil saber que es posible calcular el índice en términos de datos locales. Por ejemplo, esto implica inmediatamente que cualquier invariante que pueda expresarse como el índice de un operador es multiplicativo bajo coberturas, algo que no siempre resulta obvio. Además, si se comprenden las estructuras geométricas que produjeron el operador, a menudo se puede refinar el integrando de Atiyah-Singer; por ejemplo, es útil saber que la característica de Euler es la integral de los términos de curvatura y que la signatura de un 4-manifold es la integral de las clases de Pontryagin.

En tercer lugar, en las aplicaciones el objetivo suele ser encontrar razones geométricas por las que el índice de un operador es $0$ y a veces puedes hacerlo aunque no sepas exactamente cómo es el integrando. Esto ocurre a veces en la teoría de Seiberg-Witten, por ejemplo, donde el índice del operador de Dirac te dice la dimensión de un cierto espacio de moduli y, por tanto, estás bastante contento si resulta ser $0$ .

Por último, yo diría que la fórmula cohomológica real del índice no viene al caso. En realidad, el teorema del índice debería verse como una versión de la dualidad de Poincare en la teoría K, y todas esas clases características desordenadas son el precio que pagamos por intentar meter el teorema en la cohomología ordinaria. Trabajar con invariantes de índice en el nivel de la teoría K suele ser mucho más fácil y se pueden aprender invariantes de índice mucho más refinados que no tienen necesariamente una fórmula local (como el índice de Clifford en la teoría K real).

Answer 2

''Si damos ciertas condiciones de contorno en el dominio (por ejemplo, el círculo unitario con un punto eliminado, un triángulo, un cuadrado, etc), ¿podemos extender la demostración de la teoría K a este caso?''

Al menos no en general. El primer problema es formular el problema de valor límite apropiado para que tenga la propiedad de Fredholm, lo que ya es una tarea muy poco trivial, especialmente si se desea considerar operadores pseudodiferenciales. En primer lugar, se desea considerar una condición de contorno local, es decir, una de la forma $P(s|_{\partial W})=0$ donde $P$ es un mapa de haces vectoriales. Existe un artículo de Atiyah y Bott sobre una extensión del $K$ -fórmula de índice teórico para operadores diferenciales con tales condiciones de contorno locales. Resulta que hay una obstrucción topológica a la existencia de una condición de contorno (local). Para operadores geométricamente interesantes como la firma y el operador de Atiyah-Singer-Dirac, esta obstrucción es distinta de cero, por lo que se requiere un tipo más sofisticado de condiciones de contorno. El teorema del índice para operadores con estas condiciones de contorno fue demostrado por Atiyah-Patodi-Singer en una secuencia de tres magníficos artículos. El teorema es en términos de cohomología; y no hay formulación en términos de $K$ -(al menos no sin la teoría de Kasparov). Te recomiendo que ignores las variedades con límites por el momento, y también todas las cuestiones de singularidades, etc.

"No me parece obvio cómo se puede calcular la clase Todd o el carácter de Chern en casos prácticos".

De hecho, no es nada obvio cómo calcular estas cosas. Por regla general, el índice analítico es más difícil de calcular que el topológico, porque la cantidad de datos es menor. Y ambos índices son más difíciles de calcular cuanto menos simétrica es la variedad. En una variedad genérica, es muy difícil calcular las clases características (igual que es muy difícil calcular cualquier cosa en matemáticas en una situación genérica).

La estrategia para los cálculos consiste en partir de una situación muy simétrica, por ejemplo $CP^n$ o esferas, donde las clases características (y los índices analíticos de los operadores estándar) son computables a otras variedades. Hirzebruch fue un verdadero maestro en el cálculo de estas cosas. En su libro ''Topological methods in algebraic geometry'' hay, por ejemplo, una fórmula de cómo calcular los números característicos de variedades de intersección completas en $CP^n$ y en una serie de trabajos con Borel, calcula clases características de espacios homogéneos.

Hay una excepción, en la que el índice analítico es más fácil de calcular, a saber, si alguna razón (como la fórmula de Weitzenböck) obliga al operador a ser invertible y, por tanto, a tener índice cero.

Answer 3

Como dijo Johannes Ebert, es mejor que al principio te mantengas alejado de los problemas de valor límite. Para algunos operadores elípticos puede que ni siquiera existan local condiciones de contorno que satisfagan las condiciones que garantizan la Fredholmness; el operador de Dolbeault es un ejemplo de ello. Por ello, a menudo hay que enfrentarse a problemas de valor límite pseudolocales, como la condición de contorno de Atiyah-Patodi-Singer.

Un pseudo-operador de diferencia en una variedad cerrada es de Fredholm si es elíptico y el índice está determinado por el símbolo de principla, que es un elemento de la serie $K$ -teoría de a conmutativa álgebra. Para un problema de valor límite, la Fredholmness es una cuestión mucho más sutil. Impone restricciones al tipo de condiciones de valor límite permitidas (piénsese en Lopatinskii-Schapiro) y, como demostró Boutet de Monvel hace casi cuatro décadas, el índice viene determinado por el símbolo de los problemas, que es un elemento del álgebra de $K$ -teoría de un cierto no conmutativo álgebra; véase, por ejemplo este documento y sus referencias.

El índice de un operador en una variedad cerrada es eminentemente computable. En la mayoría de las aplicaciones geométricas puede reducirse al cálculo de los índices de unos pocos operadores clásicos: los operadores de espín y espín-c de Dirac, el operador de Hodge-de Rham (que conduce al operador de Gauss-Bonnet y al operador de firma de Hirzebruch), el operador de Dolbeault (que conduce a la fórmula de Riemann-Roch-Hirzebruch).

La reducción a estos casos requiere buenos conocimientos de teoría de la representación, geometría diferencial y una amplia familiaridad con la teoría de clases características.

En el caso de los colectores con esquinas, las cosas son aún más confusas; lo mismo ocurre con la mayoría de los colectores no compactos. En cualquier caso, parafraseando a uno de mis antiguos profesores, si puedes describir un problema de EDP explícitamente, y puede probar su Fredholmness entonces el teorema del índice te dará una respuesta tan explícita como tu pregunta.