Sea $K$ un campo ordenado y $a,b\in K\setminus\{0\}$ . Demostrar que $\left|\frac{a}b+\frac{b}a\right|\ge 2$ .
Doy mi prueba pero quiero saber si existe una prueba más sencilla que esa:
1) Tenga en cuenta que $ab^{-1}ba^{-1}=1$ . Entonces podemos reescribir la desigualdad como $|c+c^{-1}|\ge 2$ .
2) Como $cc^{-1}=1>0$ entonces por el segundo axioma de orden para un campo ordenado sabemos que si $c>0$ entonces $c^{-1}>0$ . Otros datos útiles son
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$-b=(-1)b$
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$(-1)^2=1$
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$a(-1)=(-1)a$
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$|c^{-1}|=|c|^{-1}$
Entonces, si $c<0$ esto implica que $c^{-1}<0$ . Entonces podemos reescribir la desigualdad como
$$|c^{-1}c(c+c^{-1})|=|c^{-1}(c^2+1)|=|c^{-1}|(c^2+1)=|c|^{-1}(c^2+1)\ge 2$$
$$c^2+1\ge|c|2\to |c|2=|c|+|c|=2|c|\to c^2-2|c|+1\ge 0$$
Ahora bien $c<0$ tenemos que $|c|=-c$ entonces
$$(-c)^2+2c+1=c^2+2c+1=(c+1)^2\ge 0\tag{1}$$
y para $c>0$ tenemos igualmente que
$$c^2-2c+1=(c-1)^2\ge 0\tag{2}$$
Porque $(1)$ y $(2)$ son ciertas, la prueba está completa.
Mi pregunta: He buscado una prueba diferente que no utilizan el hecho de $x^2+2x+1=(x+1)^2$ pero no encontre algo mas simple pero me siente que debe existir algo más simple. Esta es la razón por la que abrí esta pregunta. Quizás me equivoque pero... ¡quién sabe!
