Desigualdad de Chebyshev para la expectativa condicional

Question

Esto se basa en Durrett 5.1.3

Prueba Desigualdad de Chebyshev . Si $a > 0$ entonces $$\mathbb{P}(\lvert X \rvert \geq a | \mathcal{F}) \leq a^{-2}\mathbb{E}(X^2 | \mathcal{F})$$

En primer lugar, necesito establecer $X^2 \in L^1(\Omega, \Sigma, \mathbb{P})$ por lo que la desigualdad puede tener cualquier significado (de lo contrario, las funciones no están definidas). Y supongo que $X \in L^1$ por lo que el lado izquierdo está definido.

Pero, tras $L^1 \subseteq L^2$ ? No puedo deducir nada sobre $X^2$ .

¿Debo suponer $X^2 \in L^1(\Omega, \Sigma, \mathbb{P})$ ? O Durrett trabaja en $L^2$ ?

Sólo resolvemos los problemas del libro, así que ¿durante mi búsqueda rápida se me pasó esta suposición?

Answer 1

$\newcommand{\E}{\mathbb E}\newcommand{\P}{\mathbb P}$ Creo que mientras se hable de la expectativa condicional, entonces se asume indirectamente la existencia de la misma. De lo contrario, la pregunta no tendría sentido. Nótese que no necesitamos la integrabilidad de $X$ para definir $\P(|X|\geq a \mid\mathcal F)$ . Necesitamos la integrabilidad de $\mathbf{1}_{|X|\geq a}$ que es trivialmente integrable.

Fíjate: \begin{align} a\mathbf{1}_{|X|\geq a}\leq |X| \end{align} Al elevar al cuadrado se mantiene la desigualdad, ya que ambos lados son positivos: \begin{align} a^2\mathbf{1}_{|X|\geq a}\leq |X|^2=X^2 \end{align} donde $(\mathbf{1}_{|X|\geq a})^2=\mathbf{1}_{|X|\geq a}$ se utiliza. Por monotonicidad y la linealidad de la expectativa condicional tenemos: \begin{align} a^2\E[\mathbf{1}_{|X|\geq a} \mid\mathcal F]\leq \E[X^2\mid \mathcal F] \end{align} Dividiendo ambos lados con $a^2$ rendimientos: \begin{align} \P(|X|\geq a\mid\mathcal F)\leq a^{-2}\E[X^2\mid\mathcal F] \end{align}