Ejercicio sobre el colector y el espacio vectorial tangente

Question

$g: S^2 \to \mathbb{R}^3, (x,y,z) \to (x,xy,xz)$

(1) Sea $p \in S^2$ . Hallar el rango de $(dg)_{p}: T_{p}S^2 \to T_{g(p)}\mathbb{R}^3$ .( $T_{p}S^2$ es el espacio tangente a $p$ )

(2) Demuestre que $g(S^{2})$ no es un colector.

Sé que el espacio tangente de $S^{2}$ en p es un vector ortogonal a p.

Answer 1

Para calcular los mapas tangentes, defina la extensión $\tilde{g}:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ por $\tilde{g}(x,y,z)=(x,xy,xz)$ . Calculando las derivadas parciales se obtiene

\begin{align*} D\tilde{g}(x,y,z)= $$\begin{pmatrix}1&0&0\\y&x&0\\z&0&x \end{pmatrix}$$ . \.

Para cualquier $p\in S^2$ tenemos $$\begin{align*} D\tilde{g}(p)|_{T_pS^2}=(dg)_p \end{align*}$$ y utilizando esta relación se puede calcular fácilmente el rango de los mapas tangentes (basta con distinguir los casos $x=0$ y $x\neq 0$ ).

Para la segunda parte sugiero mirar el punto $(0,0,0)\in g(S^2)$ .