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Puntos fijos de grupo finito

Me preguntaba si tenemos un grupo finito G con subgrupos H y K . En X:=G/H . ¿Hay alguna forma sencilla de encontrar XK y cuándo XK= ?

¿También tiene esto algún baring en cuando G/HG/K ?

(Esta es la primera pregunta que hago aquí, así que pido disculpas por los errores, etc.)

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Lorin Hochstein Puntos 11816

Supongo que G/H representa los cosets izquierdos de H en G es decir, los conjuntos de la forma gH con gG con la acción de G en X dada por x(gH)=xgH (multiplicación por la izquierda), y que XK es el conjunto de puntos fijos de K es decir, todos gHX tal que para todo kK , k(gH)=gH .

Si kgH=gH entonces g1kgH . Así, gH está fijado por todos kK sólo si g1KgH . Así que XK={gHG/Hg1KgH}. Obsérvese que esto está bien definido: si gH=gH entonces g1gH por lo que si g1KgH entonces g1Kg=(g1g)(g1Kg)(g1g)1g1gH(g1g)1=H.

Esto permite encontrar fácilmente XK (observando los conjugados de K ) y averiguar si XK= (si no hay conjugado de K se encuentra en H por ejemplo, si el orden de K es mayor que el orden de H ; si H es normal y K no está contenido en H ; muchos otros criterios).

Ahora, ¿cuándo se G -sets G/H y G/K ¿Isomorfo? En primer lugar, debe tener [G:H]=[G:K] . Además, debe existir una biyección ψ:G/HG/K tal que para todo x,gG , ψ(gxH)=gψ(xH) . En particular, para todo hH debemos tener ψ(H)=ψ(hH)=hψ(H) . Si ψ(H)=xK significa que HxK=xK o que x1HxK . En particular, necesitamos un conjugado de H contenidos en K . Desde G es finito y H y K deben tener el mismo orden, lo que significa que H es un conjugado de K . Si x1Hx=K entonces para cualquier coset gH debemos tener ψ(gH)=gψ(H)=gxK .

Por el contrario, si H es un conjugado de K , x1Hx=K entonces ψ:G/HG/K sea el mapa que envía el coset gH al coset gxK . En primer lugar, afirmo que esto está bien definido: si yH=zH tenemos que demostrar que yxK=zxK . Desde z1yH entonces x1z1yxx1Hx=K Así que yxK=zxK como se reclama. Si gHG/H y aG entonces ψ(agH)=ψ(agH)=agxK=agxK=aψ(gH) Así que ψ es un G -homomorfismo de conjunto. El mapa G/KG/H dado por gKgx1K también es un G -(como xKx1=H ), y es la inversa del mapa anterior, por lo que ψ es un isomorfismo. Por lo tanto, el G -set G/H es isomorfo al G -set G/K sólo si H y K son conjugados.

Añadido: Es interesante observar que la definición de ψ sobre hace dependen de la elección de x ; si x y y son dos elementos distintos tales que xHx1=yHy1=K entonces los mapas ψ(gH)=gxK y ϕ(gH)=gyK son el mismo mapa si y sólo si y1xK es decir, si y sólo si y y x están en el mismo coset de K . De este modo se obtiene un mapa para cada coset de K que interseca el conjunto de elementos que conjugan H a K .

Tenga en cuenta, sin embargo, que esto no le da ninguna luz sobre la situación en la que H y K son normales, y usted está interesado en saber si los grupos cocientes G/H y G/K son isomorfas como grupos Obviamente, si H y K son normales, entonces son conjugados si y sólo si son iguales, pero es trivial encontrar ejemplos de dos sugrupos normales distintos de un grupo finito G que dan cocientes isomorfos. Por ejemplo, tomemos dos subgrupos propios distintos no triviales del Klein 4 -grupo.

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