Puntos fijos de grupo finito

Question

Me preguntaba si tenemos un grupo finito $G$ con subgrupos $H$ y $K$ . En $X:=G/H$ . ¿Hay alguna forma sencilla de encontrar $X^K$ y cuándo $X^K=\emptyset$ ?

¿También tiene esto algún baring en cuando $G/H G/K$ ?

(Esta es la primera pregunta que hago aquí, así que pido disculpas por los errores, etc.)

Answer 1

Supongo que $G/H$ representa los cosets izquierdos de $H$ en $G$ es decir, los conjuntos de la forma $gH$ con $g\in G$ con la acción de $G$ en $X$ dada por $x\cdot(gH) = xgH$ (multiplicación por la izquierda), y que $X^K$ es el conjunto de puntos fijos de $K$ es decir, todos $gH\in X$ tal que para todo $k\in K$ , $k(gH)=gH$ .

Si $kgH = gH$ entonces $g^{-1}kg\in H$ . Así, $gH$ está fijado por todos $k\in K$ sólo si $g^{-1}Kg\subseteq H$ . Así que $$X^K = \{ gH\in G/H \mid g^{-1}Kg\subseteq H\}.$$ Obsérvese que esto está bien definido: si $gH = g'H$ entonces $g'^{-1}g\in H$ por lo que si $g^{-1}Kg\subseteq H$ entonces $$g'^{-1}Kg' = (g'^{-1}g)(g^{-1}Kg)(g'^{-1}g)^{-1}\subseteq g'^{-1}gH(g'^{-1}g)^{-1}=H.$$

Esto permite encontrar fácilmente $X^K$ (observando los conjugados de $K$ ) y averiguar si $X^K=\emptyset$ (si no hay conjugado de $K$ se encuentra en $H$ por ejemplo, si el orden de $K$ es mayor que el orden de $H$ ; si $H$ es normal y $K$ no está contenido en $H$ ; muchos otros criterios).

Ahora, ¿cuándo se $G$ -sets $G/H$ y $G/K$ ¿Isomorfo? En primer lugar, debe tener $[G:H]=[G:K]$ . Además, debe existir una biyección $\psi\colon G/H\to G/K$ tal que para todo $x,g\in G$ , $\psi(gxH) = g\psi(xH)$ . En particular, para todo $h\in H$ debemos tener $\psi(H) = \psi(hH) = h\psi(H)$ . Si $\psi(H) = xK$ significa que $HxK = xK$ o que $x^{-1}Hx\subseteq K$ . En particular, necesitamos un conjugado de $H$ contenidos en $K$ . Desde $G$ es finito y $H$ y $K$ deben tener el mismo orden, lo que significa que $H$ es un conjugado de $K$ . Si $x^{-1}Hx=K$ entonces para cualquier coset $gH$ debemos tener $\psi(gH) = g\psi(H) =gxK$ .

Por el contrario, si $H$ es un conjugado de $K$ , $x^{-1}Hx = K$ entonces $\psi\colon G/H\to G/K$ sea el mapa que envía el coset $gH$ al coset $gxK$ . En primer lugar, afirmo que esto está bien definido: si $yH=zH$ tenemos que demostrar que $yxK = zxK$ . Desde $z^{-1}y\in H$ entonces $x^{-1}z^{-1}yx\in x^{-1}Hx = K$ Así que $yxK=zxK$ como se reclama. Si $gH\in G/H$ y $a\in G$ entonces $\psi(a\cdot gH) = \psi(agH) = agxK = a\cdot gxK = a\psi(gH)$ Así que $\psi$ es un $G$ -homomorfismo de conjunto. El mapa $G/K\to G/H$ dado por $gK\mapsto gx^{-1}K$ también es un $G$ -(como $xKx^{-1}=H$ ), y es la inversa del mapa anterior, por lo que $\psi$ es un isomorfismo. Por lo tanto, el $G$ -set $G/H$ es isomorfo al $G$ -set $G/K$ sólo si $H$ y $K$ son conjugados.

Añadido: Es interesante observar que la definición de $\psi$ sobre hace dependen de la elección de $x$ ; si $x$ y $y$ son dos elementos distintos tales que $xHx^{-1}=yHy^{-1}=K$ entonces los mapas $\psi(gH) = gxK$ y $\phi(gH) = gyK$ son el mismo mapa si y sólo si $y^{-1}x\in K$ es decir, si y sólo si $y$ y $x$ están en el mismo coset de $K$ . De este modo se obtiene un mapa para cada coset de $K$ que interseca el conjunto de elementos que conjugan $H$ a $K$ .

Tenga en cuenta, sin embargo, que esto no le da ninguna luz sobre la situación en la que $H$ y $K$ son normales, y usted está interesado en saber si los grupos cocientes $G/H$ y $G/K$ son isomorfas como grupos Obviamente, si $H$ y $K$ son normales, entonces son conjugados si y sólo si son iguales, pero es trivial encontrar ejemplos de dos sugrupos normales distintos de un grupo finito $G$ que dan cocientes isomorfos. Por ejemplo, tomemos dos subgrupos propios distintos no triviales del Klein $4$ -grupo.