Supongo que G/H representa los cosets izquierdos de H en G es decir, los conjuntos de la forma gH con g∈G con la acción de G en X dada por x⋅(gH)=xgH (multiplicación por la izquierda), y que XK es el conjunto de puntos fijos de K es decir, todos gH∈X tal que para todo k∈K , k(gH)=gH .
Si kgH=gH entonces g−1kg∈H . Así, gH está fijado por todos k∈K sólo si g−1Kg⊆H . Así que XK={gH∈G/H∣g−1Kg⊆H}. Obsérvese que esto está bien definido: si gH=g′H entonces g′−1g∈H por lo que si g−1Kg⊆H entonces g′−1Kg′=(g′−1g)(g−1Kg)(g′−1g)−1⊆g′−1gH(g′−1g)−1=H.
Esto permite encontrar fácilmente XK (observando los conjugados de K ) y averiguar si XK=∅ (si no hay conjugado de K se encuentra en H por ejemplo, si el orden de K es mayor que el orden de H ; si H es normal y K no está contenido en H ; muchos otros criterios).
Ahora, ¿cuándo se G -sets G/H y G/K ¿Isomorfo? En primer lugar, debe tener [G:H]=[G:K] . Además, debe existir una biyección ψ:G/H→G/K tal que para todo x,g∈G , ψ(gxH)=gψ(xH) . En particular, para todo h∈H debemos tener ψ(H)=ψ(hH)=hψ(H) . Si ψ(H)=xK significa que HxK=xK o que x−1Hx⊆K . En particular, necesitamos un conjugado de H contenidos en K . Desde G es finito y H y K deben tener el mismo orden, lo que significa que H es un conjugado de K . Si x−1Hx=K entonces para cualquier coset gH debemos tener ψ(gH)=gψ(H)=gxK .
Por el contrario, si H es un conjugado de K , x−1Hx=K entonces ψ:G/H→G/K sea el mapa que envía el coset gH al coset gxK . En primer lugar, afirmo que esto está bien definido: si yH=zH tenemos que demostrar que yxK=zxK . Desde z−1y∈H entonces x−1z−1yx∈x−1Hx=K Así que yxK=zxK como se reclama. Si gH∈G/H y a∈G entonces ψ(a⋅gH)=ψ(agH)=agxK=a⋅gxK=aψ(gH) Así que ψ es un G -homomorfismo de conjunto. El mapa G/K→G/H dado por gK↦gx−1K también es un G -(como xKx−1=H ), y es la inversa del mapa anterior, por lo que ψ es un isomorfismo. Por lo tanto, el G -set G/H es isomorfo al G -set G/K sólo si H y K son conjugados.
Añadido: Es interesante observar que la definición de ψ sobre hace dependen de la elección de x ; si x y y son dos elementos distintos tales que xHx−1=yHy−1=K entonces los mapas ψ(gH)=gxK y ϕ(gH)=gyK son el mismo mapa si y sólo si y−1x∈K es decir, si y sólo si y y x están en el mismo coset de K . De este modo se obtiene un mapa para cada coset de K que interseca el conjunto de elementos que conjugan H a K .
Tenga en cuenta, sin embargo, que esto no le da ninguna luz sobre la situación en la que H y K son normales, y usted está interesado en saber si los grupos cocientes G/H y G/K son isomorfas como grupos Obviamente, si H y K son normales, entonces son conjugados si y sólo si son iguales, pero es trivial encontrar ejemplos de dos sugrupos normales distintos de un grupo finito G que dan cocientes isomorfos. Por ejemplo, tomemos dos subgrupos propios distintos no triviales del Klein 4 -grupo.