Cómo calcular $\int_0^1 e^x \; dx$ utilizando la suma de Riemann.

Question

Necesito calcular $\int_0^1 e^x \; dx$ utilizando la suma de Riemann.

El conjunto de problemas da una pista: "La suma es una progresión geométrica. Necesitarás el límite $ \lim _{n\to \infty }n\left(e^{\frac{1}{n}}-1\right)$ . Esto se puede evaluar poniendo h = 1/n y relacionando el límite con la derivada de $e^x$ en x = 0".

Para futuras búsquedas en Google: el problema viene de problem set for MIT Open Courses, Cálculo de una sola variable, Unidad 3 - Integración , sección 3B-Integrales Dénitas, problema 3B-6.

Answer 1

CONSEJO

Tenemos que

$$\int_0^1 e^x \; dx=\lim_{n\to \infty}\frac1n \sum_{k=0}^n e^{\frac k n}=\lim_{n\to \infty}\frac1n \sum_{k=0}^n \left(e^{\frac 1 n}\right)^k$$

Para el límite tenemos que

$$\lim_{n\to \infty }n\left(e^{\frac{1}{n}}-1\right)=\lim_{n\to \infty }\frac{\left(e^{\frac{1}{n}}-1\right)}{\frac1n}=\lim_{h\to 0 }\frac{e^{h}-1}{h}=1$$

y podemos deducir que por definición de derivada o por l'Hopital.