Usando la conjetura de Dyson para dar otra prueba de la identidad de Dixon.

Question

Para los números naturales $a_1,\dots,a_n$ Freeman Dyson conjeturó (y finalmente se demostró) que el polinomio de Laurent $$ \prod_{i,j=1\atop i\neq j}^n\left(1-\frac{x_i}{x_j}\right)^{a_i} $$ tiene término constante el coeficiente multinomial $\binom{a_1+\cdots+a_n}{a_1,\dots,a_n}$ .

A.C. Dixon demostró La identidad de Dixon : $$ \sum_{k=-a}^a(-1)^k\binom{a+b}{a+k}\binom{b+c}{b+k}\binom{c+a}{c+k}=\frac{(a+b+c)!}{a!b!c!}. $$

Esta última cantidad no es más que el coeficiente multinomial $\binom{a+b+c}{a,b,c}$ . Así que dejar que $a_1=a,a_2=b,a_3=c$ debería ser el caso por la conjetura de Dyson que $$ \prod_{i,j=1\atop i\neq j}^3\left(1-\frac{x_i}{x_j}\right)^{a_i} $$ es decir, $$ \left(1-\frac{x_1}{x_2}\right)^a\left(1-\frac{x_1}{x_3}\right)^a\left(1-\frac{x_2}{x_1}\right)^b\left(1-\frac{x_2}{x_3}\right)^b\left(1-\frac{x_3}{x_1}\right)^c\left(1-\frac{x_3}{x_2}\right)^c $$ tiene un término constante $\binom{a+b+c}{a,b,c}$ . ¿Alguien ve una forma inteligente de concluir que el término constante también se calcula como $ \sum_{k=-a}^a(-1)^k\binom{a+b}{a+k}\binom{b+c}{b+k}\binom{c+a}{c+k}$ para obtener otra prueba del resultado? Muchas gracias.

Mi opinión es que uno querrá "elegir" digamos el mismo número de factores digamos $-\frac{x_1}{x_2}$ de $(1-\frac{x_1}{x_2})^a$ como el número de factores $-\frac{x_2}{x_1}$ de $(1-\frac{x_2}{x_1})^b$ al expandirse. Así que asumo que la suma de $-a$ a $a$ contará cuántas formas hay de elegir cuidadosamente entre los seis términos del producto para obtener una constante cuando se multiplique todo.

Answer 1

Configuración $a_1=a$ , $a_2=b$ , $a_3=c$ podemos empezar con $ \prod_{1\le i,j\le 3, \ i\ne j}\left(1-\frac{x_i}{x_j}\right)^{a_i} $ y combinar los pares de factores que implican el mismo par de variables para encontrar que $$ \prod_{1\le i,j\le 3, \ i\ne j}\left(1-\frac{x_i}{x_j}\right)^{a_i} $$ $$ = (-1)^{a+b+c} x_1^{a-c} x_2^{b-a} x_3^{c-b} (1-\frac{x_2}{x_1})^{a+b} (1-\frac{x_3}{x_2})^{b+c} (1-\frac{x_1}{x_3})^{c+a}. \qquad (1) $$ Utilizando el teorema del binomio, podemos expandir (1) como $$ \sum_{i,j,\ell} (-1)^{a+b+c+i+j+\ell} {a+b\choose i} {b+c\choose j} {c+a\choose \ell} x_1^{\ell-i+a-c} x_2^{i-j+b-a} x_3^{j-\ell+c-b}.\qquad (2) $$ Para encontrar el término constante en (2), tenemos que mirar todos los términos donde $$ \ell-i+a-c=0,\ i-j+b-a=0,\ j-\ell+c-b=0.\qquad (3) $$ Si ponemos $i:=a+k$ en (3), obtenemos inmediatamente $\ell=c+k$ y $j=b+k$ de las ecuaciones primera y segunda. Estas elecciones de $i$ , $j$ y $\ell$ también satisfacen la tercera ecuación. Por lo tanto el término constante en (2) es $$ \sum_k (-1)^{2a+2b+2c+3k} {a+b\choose a+k} {b+c\choose b+k} {c+a\choose c+k}, $$ donde la suma se extiende sobre todos los $k$ donde los coeficientes binomiales son distintos de cero. Dado que $(-1)^{2a+2b+2c+3k}=(-1)^k$ Ahora podemos utilizar la identidad de Dixon y demostrar que el término constante de (1) es $\left({a+b+c\atop a\ \ \ b\ \ \ c}\right)$ .