Estoy tratando de resolver: an+1−an=n2an+1−an=n2 , n≤0n≤0 , a0=1a0=1 utilizando funciones generadoras.
Paso 1) Multiplicar por xn+1xn+1
an+1xn+1−anxn+1=n2xn+1an+1xn+1−anxn+1=n2xn+1
Paso 2) Tomar las sumas infinitas
∞∑n≥0an+1xn+1−∞∑n≥0anxn+1=∞∑n≥0n2xn+1∞∑n≥0an+1xn+1−∞∑n≥0anxn+1=∞∑n≥0n2xn+1
Nuestro profesor nos dio la identidad: ∞∑n≥0n2xn=x+x21−x3∞∑n≥0n2xn=x+x21−x3 Así que calculé un x1x1 de mi RHS(para usar la identidad) y simplificado el LHS para obtener:
(f(x)−a0)−xf(x)=x(x+x21−x3)(f(x)−a0)−xf(x)=x(x+x21−x3)
por lo tanto: f(x)=x(x+x2(1−x)4)+1(1−x)=x(x+x2)+(1−x)3(1−x)4f(x)=x(x+x2(1−x)4)+1(1−x)=x(x+x2)+(1−x)3(1−x)4
Paso 3) Descomponer la función por fracciones parciales
Te guardo todos los detalles sangrientos que tengo:
f(x)=4(1−x)2−5(1−x)3+2(1−x)4
Paso 4) Hallar el coeficiente de xn en cada trimestre:
Reconocí que cada término era una derivada de la serie de potencias 1(1−x) para conseguirlo:
4[xn]∑(n+1)(xn)−512[xn]∑(n+2)(n+1)(xn)+213[xn]∑(n+3)(n+2)(n+1)(xn)
Así que todo eso = an que es igual a:
4(n+1)−512(n+2)(n+1)+213(n+3)(n+2)(n+1)
Sin embargo, la respuesta es: an=1+[n(n−1)(2n−1)16]
He probado a multiplicar para ver si eran iguales pero no lo son(también lo he comprobado en wolfram).
¿Puede alguien decirme en qué me he equivocado? Gracias.