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Resolver la relación de recurrencia utilizando la función generadora

Estoy tratando de resolver: an+1an=n2an+1an=n2 , n0n0 , a0=1a0=1 utilizando funciones generadoras.

Paso 1) Multiplicar por xn+1xn+1

an+1xn+1anxn+1=n2xn+1an+1xn+1anxn+1=n2xn+1

Paso 2) Tomar las sumas infinitas

n0an+1xn+1n0anxn+1=n0n2xn+1n0an+1xn+1n0anxn+1=n0n2xn+1

Nuestro profesor nos dio la identidad: n0n2xn=x+x21x3n0n2xn=x+x21x3 Así que calculé un x1x1 de mi RHS(para usar la identidad) y simplificado el LHS para obtener:

(f(x)a0)xf(x)=x(x+x21x3)(f(x)a0)xf(x)=x(x+x21x3)

por lo tanto: f(x)=x(x+x2(1x)4)+1(1x)=x(x+x2)+(1x)3(1x)4f(x)=x(x+x2(1x)4)+1(1x)=x(x+x2)+(1x)3(1x)4

Paso 3) Descomponer la función por fracciones parciales

Te guardo todos los detalles sangrientos que tengo:

f(x)=4(1x)25(1x)3+2(1x)4

Paso 4) Hallar el coeficiente de xn en cada trimestre:

Reconocí que cada término era una derivada de la serie de potencias 1(1x) para conseguirlo:

4[xn](n+1)(xn)512[xn](n+2)(n+1)(xn)+213[xn](n+3)(n+2)(n+1)(xn)

Así que todo eso = an que es igual a:

4(n+1)512(n+2)(n+1)+213(n+3)(n+2)(n+1)

Sin embargo, la respuesta es: an=1+[n(n1)(2n1)16]

He probado a multiplicar para ver si eran iguales pero no lo son(también lo he comprobado en wolfram).

¿Puede alguien decirme en qué me he equivocado? Gracias.

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marty cohen Puntos 33863

A(x)=n=0anxn=a0+n=1anxn=a0+n=0an+1xn+1=a0+n=0(an+n2)xn+1=a0+xn=0(an+n2)xn=a0+x(n=0anxn+n=0n2xn)=a0+x(A(x)+x+x21x3)

Resuelva ahora A(x) .

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Leucippus Puntos 11926

Consideremos la ecuación en diferencias an+1an=n2 donde n0 y a0=1 . Se puede determinar rápidamente que n=0n2xn=x(1+x)(1x)3 para lo cual n=0an+1xnn=0anxn=x(1+x)(1x)31xn=0an+1xn+1n=0anxn=1xn=1anxnn=0anxn=1x(a0+n=0anxn)n=0anxn=1+(1x)n=0anxn=x2(1+x)(1x)3. Esto conduce a n=0anxn=25(1x)+4(1x)2(1x)4 que puede verse en la forma n=0anxn=n=0[13(n+1)(n+2)(n+3)52(n+1)(n+2)+4(n+1)]xn que da como resultado an=13(n+1)(n+2)(n+3)52(n+1)(n+2)+4(n+1)=n+16(2(n+2)(n+3)15(n+2)+24)=n+16(2n25n+6)=16(2n33n2+n+6)=n(n1)(2n1)6+1.

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