Resolver la relación de recurrencia utilizando la función generadora

Question

Estoy tratando de resolver: $a_{n+1}-a_n=n^2$ , $n\le0$ , $a_0=1$ utilizando funciones generadoras.

Paso 1) Multiplicar por $x^{n+1}$

$$a_{n+1}x^{n+1}-a_nx^{n+1}=n^2x^{n+1}$$

Paso 2) Tomar las sumas infinitas

$$\sum_{n\ge0}^{\infty}a_{n+1}x^{n+1}-\sum_{n\ge0}^{\infty}a_nx^{n+1}=\sum_{n\ge0}^{\infty}n^2x^{n+1}$$

Nuestro profesor nos dio la identidad: $$\sum_{n\ge0}^{\infty}n^2x^n= \frac{x+x^2}{{1-x}^3}$$ Así que calculé un $x^1$ de mi RHS(para usar la identidad) y simplificado el LHS para obtener:

$$(f(x)-a_0)-xf(x)=x\left(\frac{x+x^2}{{1-x}^3}\right)$$

por lo tanto: $$f(x)=x\left(\frac{x+x^2}{{(1-x)}^4}\right)+\frac{1}{(1-x)}=\frac{x(x+x^2)+(1-x)^3}{(1-x)^4}$$

Paso 3) Descomponer la función por fracciones parciales

Te guardo todos los detalles sangrientos que tengo:

$$f(x)=\frac{4}{(1-x)^2}-\frac{5}{(1-x)^3}+\frac{2}{(1-x)^4}$$

Paso 4) Hallar el coeficiente de $x^n$ en cada trimestre:

Reconocí que cada término era una derivada de la serie de potencias $\frac{1}{(1-x)}$ para conseguirlo:

$$4[x^n]\sum(n+1)(x^n)-5\frac12[x^n]\sum(n+2)(n+1)(x^n)+2\frac13[x^n]\sum(n+3)(n+2)(n+1)(x^n)$$

Así que todo eso = $a_n$ que es igual a:

$$4(n+1)-5\frac12(n+2)(n+1)+2\frac13(n+3)(n+2)(n+1)$$

Sin embargo, la respuesta es: $a_n=1+[n(n-1)(2n-1)\frac16]$

He probado a multiplicar para ver si eran iguales pero no lo son(también lo he comprobado en wolfram).

¿Puede alguien decirme en qué me he equivocado? Gracias.

Answer 1

$\begin{array}\\ A(x) &=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\\ &=a_0+\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n\\ &=a_0+\sum_{n=0}^{\infty} a_{n+1} x^{n+1}\\ &=a_0+\sum_{n=0}^{\infty} (a_{n}+n^2) x^{n+1}\\ &=a_0+x\sum_{n=0}^{\infty} (a_{n}+n^2) x^{n}\\ &=a_0+x\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}+\sum_{n=0}^{\infty} n^2 x^{n}\right)\\ &=a_0+x\left(A(x)+ \frac{x+x^2}{{1-x}^3}\right)\\ \end{array}$

Resuelva ahora $A(x)$ .

Answer 2

Consideremos la ecuación en diferencias $a_{n+1} - a_{n} = n^{2}$ donde $n \geq 0$ y $a_{0} = 1$ . Se puede determinar rápidamente que $$\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} n^{2} x^{n} = \frac{x(1+x)}{(1-x)^{3}} \end{align}$$ para lo cual $$\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n+1} x^{n} - \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} &= \frac{x(1+x)}{(1-x)^{3}} \\ \frac{1}{x} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} a_{n+1} x^{n+1} - \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} &= \\ \frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n} - \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} &= \\ \frac{1}{x} \left( - a_{0} + \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} \right) - \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} &= \\ - 1 + (1-x) \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} &= \frac{x^{2} (1+x)}{(1-x)^{3}}. \end{align}$$ Esto conduce a $$\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} = \frac{2 - 5(1-x) + 4 (1-x)^{2}}{(1-x)^{4}} \end{align}$$ que puede verse en la forma $$\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{1}{3} (n+1)(n+2)(n+3) - \frac{5}{2} (n+1)(n+2) + 4 (n+1) \right] x^{n} \end{align}$$ que da como resultado $$\begin{align} a_{n} &= \frac{1}{3} (n+1)(n+2)(n+3) - \frac{5}{2} (n+1)(n+2) + 4 (n+1) \\ &= \frac{n+1}{6} \left( 2(n+2)(n+3) - 15(n+2) + 24 \right) \\ &= \frac{n+1}{6} ( 2n^{2} - 5n + 6) \\ &= \frac{1}{6} ( 2 n^{3} - 3n^{2} + n + 6) \\ &= \frac{n(n-1)(2n-1)}{6} + 1. \end{align}$$