La mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos son diferente en cómo tratan sus ecuaciones de onda. El uso del término común "propagador" podría remontarse al enfoque de la "ecuación de onda relativista", es decir, la gente realmente solía pensar que los operadores de Schrödinger y KG pertenecían a la misma clase de "operadores cuánticos", pero el punto de vista moderno considera que estas cosas son de naturaleza diferente, así que sugiero que tú también lo hagas al principio. (Más adelante, quizá quieras entender el Campo de Schrödinger en QFT no relativista leyendo el capítulo III.5 de Zee y si se siente valiente, los orígenes de la QFT moderna, descritos en El primer volumen de Weinberg sección 1.2.) En consecuencia, dividiré mi respuesta en secciones sobre QFT y QM.
Mecánica cuántica. Supongamos que conoce la amplitud de transición $\def\xi{x_{\mathrm i}} \def\xf{x_{\mathrm f}} \def\ti{t_{\mathrm i}} \def\tf{t_{\mathrm f}}$ $$K(\xf,\tf;\xi,\ti) \equiv \langle \xf,\tf|\xi,\ti\rangle$$ y la función de onda $\psi(x,\ti) = \psi_0(x)$ para todos $x$ a una hora determinada $t =\ti$ . Entonces también lo sabes en cualquier otro momento $t=\tf$ : \begin{multline} \psi(\xf,\tf) \equiv \langle \xf,\tf|\psi(\ti)\rangle = \langle \xf,\tf|\left(\int d^n\xi\,|\xi,\ti\rangle\langle \xi,\ti|\right)|\psi(\ti)\rangle \\\equiv \int d^n\xi\,K(\xf,\tf;\xi,\ti)\psi_0(\xi).\tag{1} \end{multline} Las primeras secciones de Feynman y Hibbs o el capítulo 6 de Srednicki PDF debería convencerte de que $$K(\xf,\tf;\xi,\ti) = \int\limits_{x\rlap{(\ti)=\xi}}^{x\rlap{(\tf)=\xf}} \mathcal Dx(t)\,e^{i\int dt\,L(x(t),\dot x(t),t)}.$$ Obsérvense bien las condiciones de contorno en la integral de trayectoria: resultarán importantes en la sección de QFT.
Reorganicemos los argumentos, $K(\xf,\tf;\xi,\ti) = K(\xf,\xi;\tf,\ti)$ . Entonces podrás reconocer en (1) una representación integral del operador de evolución $U(\tf,\ti)$ , $$ \psi(\xf,\tf)\equiv(U(\tf,\ti)\psi_0)(\xf) = \int d^n\xi\,K(\xf,\xi;\tf,\ti)\psi_0(\xi).$$ Si piensa en $\xi$ y $\xf$ como índices con número continuo de valores, esta fórmula se parece mucho a multiplicación de matrices y $K(\cdot,\cdot\,;\tf,\ti)$ desempeña el papel de matriz. Esto tiene sentido, porque la lineal operador $U(\tf,\ti)$ debería representarse mediante (algo así como) una matriz. Los matemáticos llaman a ese algo núcleo (integral) de ahí el $K$ . Pero realmente es una matriz muy grande, salvo patologías; hablando de eso, convéncete de que la "función" delta de Dirac $\delta^n(\xf-\xi)$ es el núcleo del identidad y que $K(\xf,\xi;\ti,\ti) = \delta^n(\xf-\xi)$ .
Armado con el conocimiento de que la delta de Dirac es de hecho el operador identidad, ahora ves que la definición de la función de Green (más propiamente el solución fundamental ) de un operador diferencial lineal $L$ limitada a cero dimensiones espaciales y sin $t$ dependencia para simplificar, $$ LG = \delta(t), $$ no es más que la definición de un inverso. Dado $G$ también es obvio cómo resolver cualquier otro ecuación no homogénea: $$ Lu = f(t)\quad\Leftarrow\quad u(t) = \int ds\,G(t-s)f(s). $$ Pero qué tiene que ver todo esto con la solución del problema de valor límite que es el propagador $K$ ? Todo, según Principio de Duhamel . La función de Green $G$ (para el problema no homogéneo) y el propagador $K$ (para el problema del valor inicial) ¡son de hecho iguales! A debate en Math.SE ofrece algo de motivación, y Wikipedia tiene los detalles sobre el manejo de ecuaciones que son de más de primer orden en el tiempo (por ejemplo, KG no Schrödinger). En cualquier caso, el resultado final es que $K$ es la inversa del operador de Schrödinger, $$[\partial_t + iH(x,-i\partial_x)]K = \delta(t)\delta^n(x).$$
Interludio. Quizá le guste leer la sección 2 del clásico artículo de Feynman Teoría de los positrones PDF Phys. Rev. 76 749 (1949), y el comienzo de la sección 2 del seguimiento Aproximación espacio-temporal a la electrodinámica cuántica PDF Phys. Rev. 76 , 769 (1949), que proporciona el vínculo entre los enfoques QM y QFT al mostrar cómo escribir una expansión de perturbación en $g$ para un Hamiltoniano $H = T + gV$ cuando se puede determinar la evolución exacta bajo la parte "cinética". $T$ pero no la parte de "interacción $gV$ , $g \ll 1$ . La contribución de primer orden, por ejemplo, tiene el siguiente aspecto $$ K_1(\xf,\tf;\xi,\ti) = -ig\int_{\ti}^{\tf} dt\int d^3x\, K_0(\xf,\tf;x,t)V(x,t)K_0(x,t;\xi,\ti), $$ que puede describirse razonablemente como "propagándose a un punto arbitrario $x$ , dispersándose por el potencial y propagándose desde allí hasta el punto final". El segundo artículo contiene la extensión a sistemas multipartícula.
Feynman utilizó esto para motivar, por primera vez, sus diagramas. Sin embargo, la parte relativa a la propia QED debe tomarse con cautela, por las razones expuestas en el primer párrafo. Te divertirías mucho, por ejemplo, explicando por qué la restricción $\ti\le t\le \tf$ es no se aplica en QFT-Feynman llamó a esto el razón de ser de las antipartículas .
Teoría cuántica de campos. Vernácula (por oposición a axiomático ) la teoría cuántica de campos parte de una ecuación de campo clásica. Eso es lo que es su ecuación de KG o de Dirac o de onda: una clásico ecuación derivada de una acción clásica para el campo. Se puede dividir la ecuación y la acción en una parte "libre" y una parte "de interacción"; la parte libre (o "cinética") suele definirse como la parte que se puede resolver exactamente: la parte lineal de la ecuación, la parte cuadrática de la acción. El propagador libre es la inversa de esa parte. Suele denominarse $D$ para fermiónica y $\Delta$ para campos bosónicos, aunque las convenciones (¡y los coeficientes!) varían.
Promocionar los campos entre los operadores $\hat\phi(x)$ utilizando cuantización canónica ; después de un poco de dolor y sufrimiento encontrarás el hecho totalmente misterioso de que, en la teoría libre, $$ \langle0|\mathcal T\hat\phi(x)\hat\phi(y)|0\rangle = \theta(x^0-y^0)\langle0|\hat\phi(x)\hat\phi(y)|0\rangle +\theta(y^0-x^0)\langle0|\hat\phi(y)\hat\phi(x)|0\rangle =\frac 1i \Delta(x-y), $$ donde $|0\rangle$ es el estado básico, y la primera igualdad sirve para defina el $\mathcal T$ símbolo pedido de tiempo . Sin embargo, en la tierra de las integrales funcionales, todo esto es tan fácil como resolver la ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$ por completar el cuadrado Encontrará los detalles en el capítulo I.2 de Zee, a partir de la ecuación (19). El resultado es $$ \frac 1i \Delta(x-y) = \langle0|\mathcal T\hat\phi(x)\hat\phi(y)|0\rangle \equiv \int\mathcal D\phi(x)\,\phi(x)\phi(y)\,e^{iS[\phi]} = \left.\frac\delta{i\,\delta J(x)}\frac\delta{i\,\delta J(y)}\int\mathcal D\phi(x)\,e^{i\left(S[\phi] + \int d^4x\,J(x)\phi(x)\right)}\right|_{J = 0}, $$ con la equivalencia en el medio siendo casi la definición de la integral, y el conjunto debe parecer razonable y no por casualidad que recuerda a la física estadística. Obsérvese cómo la integración es sobre las configuraciones de campo de cuatro dimesiones $\phi(x)$ en lugar de trayectorias de partículas $x(t)$ : ¡QM es sólo QFT en una dimensión!
Tienes que derivar la integral de la trayectoria para entender dónde está el $\mathcal T$ sin embargo, tiene sentido que si la integral de trayectoria define correlacionadores, éstos vengan con una prescripción de orden: bajo el signo de la integral, no hay operadores, sólo números, y ningún orden. La derivación también te convencerá de que (¿recuerdas que te dije que tuvieras en cuenta las condiciones de contorno?) $$ \int\mathcal Dx(t) \equiv \int d^n\xf\,d^n\xi \langle0|\xf\rangle \langle\xi|0\rangle \int\limits_{x\rlap{(\ti) =\xi}}^{x\rlap{(\tf) =\xf}}\mathcal Dx(t) $$ para arbitraria $\ti$ y $\tf$ que engloban todos los valores temporales que te interesan, en una sola dimensión para simplificar. Hace poco tuve que anotar los detalles para que puedas consultar mis notas para mí PDF si es necesario.
El último salto consiste en introducir interacciones; lo dejaré para la AMS señala o Zee capítulo I.7, pero la idea es de nuevo diferenciar (funcionalmente) bajo la integral (funcional): $$ \int\mathcal D\phi(x) e^{i\left(S[\phi] + I[\phi] + \int d^4x\,J(x)\phi(x)\right)} = e^{iI\left[\frac{\delta}{i\,\delta J}\right]} \int\mathcal D\phi(x) e^{i\left(S[\phi] + \int d^4x\,J(x)\phi(x)\right)} $$ y el resultado son vértices en diagramas de Feynman.
