¿Puedo transformar tensores electromagnéticos por multiplicación de matrices?

Question

Sé que el tensor de campo eletromagnético $F^{\mu\nu}$ puede transfomarse a otro sistema de referencia mediante $$F^{\alpha\beta} = \varLambda^{\alpha}_{\mu}\varLambda^{\beta}_{\nu}F^{\mu\nu}$$

Dado que estos tensores pueden ser representados por matrices así que pensé que podría representar el tensor de campo electromagnético en otro marco de referencia inercial haciendo multiplicaciones de matrices, pero terminé con:

$$F^{\alpha\beta}= \begin{bmatrix} \gamma & -\gamma\beta & 0 & 0 \\ -\gamma\beta & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma & -\gamma\beta & 0 & 0 \\ -\gamma\beta & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -\frac{1}{c}E_x & -\frac{1}{c}E_y & -\frac{1}{c}E_z \\ \frac{1}{c}E_x & 0 & -B_z & B_y\\ \frac{1}{c}E_y & B_z &0 & -B_x\\ \frac{1}{c}E_z & -B_y & B_x & 0 \end{bmatrix} =$$ $$=\begin{bmatrix} -2\frac{\gamma^2\beta}{c}E_x & -\frac{\gamma^2}{c}E_x(1+\beta^2)& -\frac{\gamma^2}{c}E_y(1+\beta^2)+2\gamma^2\beta^2B_z & -\frac{\gamma^2}{c}E_z(1+\beta^2)-2\gamma^2\beta B_y \\ \frac{1}{c}E_x & 2\frac{\gamma^2\beta}{c}E_x & 2\frac{\gamma^2\beta}{c}E_y-\gamma^2B_z(\beta^2+1) & 2\frac{\gamma^2\beta}{c}E_z+\gamma^2B_y(\beta^2+1)\\ \frac{1}{c}E_y & B_z &0 & -B_x\\ \frac{1}{c}E_z & -B_y & B_x & 0 \end{bmatrix}$$ Pero como se puede ver fácilmente, este matiz no es antisimétrico como debería ser un tensor de campo electromagnético, por definición, así que ¿significa esto que no puedo utilizar la multiplicación de matrices en tensores o significa que cometí un error en alguna parte en los cálculos de los productos matriciales?

Answer 1

$$\begin{align} F^{\alpha\beta} & = \begin{bmatrix} \hphantom{-}\gamma & -\gamma\beta & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-}0\hphantom{-} \vphantom{\dfrac12}\\ -\gamma\beta & \hphantom{-}\gamma & \hphantom{-}0 & \hphantom{-} 0 \hphantom{-} \vphantom{\dfrac12}\\ \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-} 0 \hphantom{-} \vphantom{\dfrac12}\\ \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 1 \hphantom{-} \vphantom{\dfrac12} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \vphantom{\dfrac12}\\ E_x & \hphantom{-} 0 & -cB_z & \hphantom{-} cB_y \vphantom{\dfrac12} \\ E_y & \hphantom{-} cB_z & \hphantom{-} 0 & -cB_x \vphantom{\dfrac12} \\ E_z & -cB_y & \hphantom{-} cB_x & \hphantom{-} 0 \vphantom{\dfrac12} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hphantom{-}\gamma & -\gamma\beta & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-}0\hphantom{-} \vphantom{\dfrac12}\\ -\gamma\beta & \hphantom{-}\gamma & \hphantom{-}0 & \hphantom{-} 0 \hphantom{-} \vphantom{\dfrac12}\\ \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-} 0 \hphantom{-} \vphantom{\dfrac12}\\ \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 1 \hphantom{-} \vphantom{\dfrac12} \end{bmatrix} \nonúmero & = \begin{bmatrix} \!\!-\gamma\beta E_x &\!\! -\gamma E_x & -\gamma(E_y-\beta cB_z) & -\gamma(E_z+\beta cB_y)\vphantom{\dfrac12} \hphantom{-} \\ \hphantom{-}\gamma E_x & \!\gamma\beta E_x & \hphantom{-}\gamma(\beta E_y- cB_z) & \hphantom{-}\gamma(\beta E_z+cB_y)\vphantom{\dfrac12}\hphantom{-}\\ \hphantom{\gamma\beta} E_y & \hphantom{-} cB_z &0 & -cB_x\vphantom{\dfrac12}\hphantom{-}\\ \hphantom{\gamma\beta} E_z & -cB_y & cB_x & \hphantom{-}0\vphantom{\dfrac12}\hphantom{-} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hphantom{-}\gamma & -\gamma\beta & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-}0\hphantom{-} \vphantom{\dfrac12}\\ -\gamma\beta & \hphantom{-}\gamma & \hphantom{-}0 & \hphantom{-} 0 \hphantom{-} \vphantom{\dfrac12}\\ \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-} 0 \hphantom{-} \vphantom{\dfrac12}\\ \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 0 & \hphantom{-} 1 \hphantom{-} \vphantom{\dfrac12} \end{bmatrix} \número & = \begin{bmatrix} \hphantom{-}0 & -E_x & -\gamma(E_y-\beta cB_z) &-\gamma(E_z+\beta cB_y)\hphantom{-}\vphantom{\dfrac12} \\ \hphantom{-} E_x & 0 & \hphantom{-}\gamma(\beta E_y- cB_z) & \hphantom{-}\gamma(\beta E_z+cB_y)\hphantom{-}\vphantom{\dfrac12}\\ \hphantom{-}\gamma(E_y-\beta cB_z) & -\gamma(\beta E_y- cB_z) &\hphantom{-} 0 & -cB_x\hphantom{-}\vphantom{\dfrac12}\\ \hphantom{-}\gamma(E_z+\beta cB_y) & -\gamma(\beta E_z+cB_y) & \hphantom{-} cB_x & \hphantom{-}0\hphantom{-}\vphantom{\dfrac12} \end{bmatrix} \número & = \begin{bmatrix} \hphantom{-}0 & -E'_x & -E'_y & -E'_z \hphantom{-}\vphantom{\dfrac12}\\ \hphantom{-}E'_x & \hphantom{-} 0 & -cB'_z & \hphantom{-} cB'_y \hphantom{-}\vphantom{\dfrac12} \\ \hphantom{-}E'_y & \hphantom{-} cB'_z & \hphantom{-} 0 & -cB'_x \hphantom{-}\vphantom{\dfrac12} \\ \hphantom{-}E'_z & -cB'_y & \hphantom{-} cB'_x & \hphantom{-} 0 \hphantom{-}\vphantom{\dfrac12} \end{bmatrix} \tag{01} \end{align}$$ Desde $\:\beta=\upsilon/c$ $$\begin{align} E'_x & = \hphantom{-}E_x \tag{02.x}\vphantom{\dfrac12}\\ E'_y & = \gamma(E_y-\upsilon B_z) \tag{02.y}\vphantom{\dfrac12}\\ E'_z & = \gamma(E_z+\upsilon B_y) \tag{02.z}\vphantom{\dfrac12}\\ B'_x & = \hphantom{-}B_x \tag{03.x}\vphantom{\dfrac12}\\ B'_y & = \gamma(B_y+\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E_z) \tag{03.y}\\ B'_z & = \gamma(B_z-\dfrac{\upsilon}{c^{2}} E_y) \tag{03.z} \end{align}$$

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F o Y nuestra I nformación :

Las ecuaciones de una transformación de Lorentz más general entre dos sistemas $\:\mathrm S(\mathbf{x},t)\:$ y $\:\mathrm S'(\mathbf{x}',t')\:$ , este último se desplaza con velocidad constante $\:\mathbf{v}\!=\!\upsilon\mathbf{n}\,,\Vert\mathbf{n}\Vert=1\,, \upsilon \in (-c,+c)$ con respecto a la primera, son : $$\begin{align} \mathbf{x}'& \!=\!\mathbf{x}\!\boldsymbol{+}\!(\gamma\!\boldsymbol{-}\!1)(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{x})\mathbf{n}\!\boldsymbol{-}\!\gamma\mathbf{v}t \tag{ft-01a}\\ t' & \!=\! \gamma\left(t\!\boldsymbol{-}\!\dfrac{\mathbf{v}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{x}}{c^{2}}\right) \tag{ft-01b}\\ \gamma & \!=\!\left(1\!\boldsymbol{-}\!\dfrac{\upsilon^{2}}{c^{2}}\right)^{\boldsymbol{-}1/2} \tag{ft-01c} \end{align}$$ ver Figura. (1)

En (ft-01) los vectores $\:\mathbf{E},\mathbf{B}\:$ del campo electromagnético en el espacio vacío se transforman de la siguiente manera :
$$\begin{align} \mathbf{E}'& \!=\!\gamma\mathbf{E}\!\boldsymbol{-}\!(\gamma\!\boldsymbol{-}\!1)(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{E})\mathbf{n}\boldsymbol{+}\:\gamma\left(\mathbf{v}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}\right) \tag{ft-02a}\\ \mathbf{B}'& \!=\!\gamma\mathbf{B}\!\boldsymbol{-}\!(\gamma\!\boldsymbol{-}\!1)(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{B})\mathbf{n}\!\boldsymbol{-}\!\dfrac{\gamma}{c^{2}}\left(\mathbf{v}\boldsymbol{\times}\mathbf{E}\right) \tag{ft-02b} \end{align}$$ Las ecuaciones (02),(03) son un caso especial de (ft-02) para $\:\mathbf{n}=(1,0,0)$ .

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(1) Vea una versión en 3D de esta figura aquí : Figura Versión 3D

Answer 2

Comprueba la definición de multiplicación de matrices. Una de las dos matrices de la transformada de Lorentz debe estar a la derecha de la matriz del campo electromagnético, pero ten en cuenta otras sutilezas.

Answer 3

La multiplicación de matrices es como contraer el índice-columna del primer tensor con el índice-archivo del segundo tensor, pero en este caso debes contraer el índice-columna en ambos tensores.