$\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ convergente para todas las secuencias acotadas $b_n$ Demostrar $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ convergen.

Question

He visto preguntas anteriores sobre este tipo de cuestiones (supongo que $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ convergen y $b_n$ delimitado $\rightarrow \sum_{n=1}^\infty |a_nb_n|$ ).
Pero no puedo encontrar la respuesta a esta pregunta, tal vez me estoy perdiendo algo.

Sé que $\forall n : |b_n|<M$ para algunos $M>0$ así que $|a_nb_n|\le M|a_n|$
pero no es suficiente la prueba de comparación ya que necesito encontrar el símbolo de desigualdad inversa $\ge$ y porque no sabemos si $|a_nb_n|$ convergen , sólo $a_nb_n$ convergen para nuestro conocimiento.
si tomamos $b_n = (-1)^n$ entonces obtenemos que $a_n$ convergen por el criterio de que $b_n$ está acotado y $a_nb_n$ es convergente.

No sé qué más entender del significado de $a_nb_n$ series convergentes...

Answer 1

Sea $$b_n=\begin{cases}1&\text{ if }a_n\geqslant0\\-1&\text{ otherwise.}\end{cases}$$ A continuación, la serie $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ converge. En otras palabras, la serie $\sum_{n=1}^\infty|a_n|$ converge.