¿Por qué los electrones de un átomo sólo ocupan los estados estacionarios?

Question

Cuando hablamos de los problemas elementales de la mecánica cuántica, como la partícula en una caja, primero calculamos la función propia de la energía. Luego decimos que el estado más general es la combinación lineal o superposición de estas funciones propias de base. Pero cuando vamos a los átomos, digamos el átomo de hidrógeno, acabamos calculando las funciones propias de energía y decimos que los electrones ocupan estos estados estacionarios empezando por el estado de menor energía (estado fundamental). He visto esto en la física del estado sólido también. Por ejemplo, en el modelo de electrones casi libres, calculamos funciones propias de energía con valores propios

$$E=\frac{h^2k^2}{2m}$$ donde $k=n\pi/a$ , $a$ =longitud de la muestra y suponer que los electrones van a ocupar estos estados. Aquí tampoco se habla de combinación lineal de estos estados.

Así que mi pregunta es ¿por qué no hablamos aquí de las funciones de estado que pueden ser la combinación lineal de dos o más de dos estados estacionarios en los átomos o son las condiciones en las que los electrones ocupan sólo los estados estacionarios?

Answer 1

¿Por qué los electrones de un átomo sólo ocupan los estados estacionarios?

Eso no es cierto. Un electrón en un átomo puede estar en cualquier superposición de estados. Este es uno de los postulados básicos de la mecánica cuántica: la linealidad.

Por ejemplo, supongamos que un átomo tiene un estado básico 1 y un estado excitado 2, y digamos que somos capaces de prepararlo en un estado puro 2. Decaerá electromagnéticamente al estado 1. Este decaimiento se representa matemáticamente mediante un proceso en el que la función de onda se convierte en una mezcla de los estados 1 y 2, con la amplitud de 2 decayendo exponencialmente y la amplitud de 1 creciendo correspondientemente.

La energía es especial aquí sólo porque muchos de los dispositivos de medición que utilizamos para estudiar los átomos son dispositivos detectores de energía. Cuando medimos con uno de estos aparatos, siempre obtenemos una energía definida. Tomemos de nuevo el ejemplo de los dos estados para simplificar. En la interpretación de Copenhague (IC), esto se debe al colapso de la función de onda. En la interpretación de muchos mundos (MWI), el dispositivo de medición se convierte en una superposición, pero es una superposición de un estado en el que el dispositivo midió una sola energía y otro estado en el que el dispositivo midió la otra energía. También se puede discutir esto en términos de decoherencia.

Answer 2

En función de las situaciones concretas, se me ocurren dos respuestas independientes a la pregunta " por qué sólo nos interesan los estados estacionarios ":

1. decoherencia por interacción de fotones (no me centraré en este aspecto);

2. todos los sistemas (efectivamente no degenerados) se convierten en conjuntos (impropios) de estados estacionarios SI tenemos ignorancia uniforme del tiempo (me centraré en explicar esta idea).

En primer lugar, supongo que tienes conocimientos básicos sobre la matriz de densidad. (Creo que tengo que hacerlo, ya que de lo contrario mi respuesta sería demasiado larga).

Dada una matriz de densidad inicial arbitraria $\rho_0$ construimos un conjunto temporal basado en una distribución uniforme del tiempo. ¿Para qué queremos este conjunto temporal? Digamos que establecemos el estado inicial, y luego esperamos mientras no registramos el tiempo. No registrar el tiempo significa aproximadamente que tenemos una ignorancia uniforme del tiempo. Dada esa ignorancia uniforme del tiempo, la matriz de densidad que describe el sistema es el conjunto temporal $\rho_{\text{time}}$ . Diga $U_t$ es el operador de evolución temporal.

$$\rho_{\text{time}} =\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int^t_0 \mathrm{d}t \ U_t\rho_0 U_t^\dagger$$

Digamos que el estado inicial está en una superposición de estados pura $\rho_0=\left(\sum_m C_m \left|m \right>\right) \left( \sum_n C_n^\dagger \left< n \right|\right)$

$$\rho_{\text{time}} =\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int^t_0 \mathrm{d}t \ U_t\rho_0 U_t^\dagger = \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int^t_0 \mathrm{d}t \sum_{m,n} e^{-i (E_m-E_n)t} C_m C_n^\dagger \left| m \right> \, \left< n \right|$$

Tomando primero el límite se obtiene la función delta $\delta_{m,n}$

$$\rho_{\text{time}}=\sum_{m,n} \delta_{m,n} C_m C_n^\dagger \left| m \right> \left< n \right|=\sum_{n} \left|C_n \right|^2 \left|n \right> \left< n \right|$$

¡Allá vamos! Si tenemos un estado inicial y una ignorancia uniforme del tiempo, se pierde toda la información de fase y la matriz de densidad es diagonal en energía, por lo que es un conjunto (impropio) de estados energéticos. Para las propiedades termodinámicas que son independientes del tiempo, dicho conjunto temporal captura toda la información sobre el sistema. Por lo tanto, sólo importan los estados energéticos y las probabilidades de ocupación de los estados. Las ideas de superpositón de estados energéticos y de interferencia entre estados energéticos dejan de tener importancia a grandes rasgos. (La derivación anterior requiere la no-degeneración. La razón por la que a menudo es razonable es que raramente hay simetría perfecta. No elaboraré esto más).

Answer 3

Una de las razones por las que nos centramos en los eigenestados energéticos es que los átomos pasan casi todo su tiempo en un eigenestado energético, y su espectro es el resultado de las transiciones entre ellos.

Otra razón es pedagógica: pelar la cebolla capa por capa. Pero en poco tiempo, muchos cursos incluyen ejemplos de sistemas que no se encuentran en un estado propio energético. Un ejemplo popular es el oscilador armónico con el sistema en un estado gaussiano desplazado del origen. Todos los estados propios de energía están centrados en el origen; la gaussiana desplazada es una superposición de todos los estados propios de energía. Cuando se calcula la evolución temporal, se observa que el estado oscila hacia adelante y hacia atrás en torno al origen... movimiento armónico simple.

Answer 4

Es una pregunta interesante porque hay que empezar a tratar con el átomo rodeado por su entorno. Los átomos con electrones en estados distintos de los estados de relleno más bajos posibles tienen muchas oportunidades. Pueden emitir fotones (y con ello pasar a un estado de menor energía) en muchas direcciones posibles, y ese fotón puede interactuar con cualquier número de cosas en este mundo, como placas fotomultiplicadoras o retinas. Podemos decir que el electrón está más o menos acoplado a todas las demás partículas cargadas del universo. Dadas todas las otras configuraciones posibles del electrón original y de todas las demás partículas cargadas, al cabo de cierto tiempo el sistema no tendrá esencialmente ninguna probabilidad de que el electrón se encuentre en el estado de mayor energía.

Para describir este proceso a través del tiempo, se podría describir la función de onda del electrón como si estuviera en una superposición de estados después de un tiempo, t1, y en una superposición diferente en un tiempo posterior, t2. Finalmente, la componente a mayor energía no tiene amplitud.

Sin embargo, si intentamos medir el nivel de energía, sólo podremos interactuar con fotones que coincidan con el hueco entre niveles de energía. O bien el fotón bien dirigido es absorbido, haciendo que el nivel de energía vuelva a subir, o bien no lo hace. Si lo vemos así, el átomo sólo ESTÁ en un estado propio o en otro.

Para tratar de entenderlo mejor, hay que entrar en el terreno de la interpretación QM.

Answer 5

Editar después de los comentarios:

Tenemos la observación experimental de espectros fijos procedentes de átomos específicos. Lo mismo ocurre con los núcleos, y ambos son estables en su estado fundamental (a menos que estén energéticamente perturbados o sean isótopos inestables).

Las soluciones de mecánica cuántica reflejan estas observaciones experimentales y los espectros de átomos y núcleos se han ajustado con modelos de potencial, modelos de cáscara.

cuando hablamos de los problemas elementales de la mecánica cuántica como la partícula en una caja, primero calculamos la eigenfunción de energía.

Se trata de un problema muy específico y tiene un conjunto de funciones propias. La partícula sólo puede estar en una de estas eigenfunciones , no en superposición. El potencial es muy específico y el operador de energía, el Hamiltoniano, es conocido. Si el electrón, por ejemplo, estuviera en una superposición de estados energéticos sobre el átomo de hidrógeno, tendría una probabilidad de estar en un estado superior al de masa sin aporte externo de energía, y una probabilidad entonces de decaer al estado de masa, violando la conservación de la energía.

Entonces decimos que el estado más general es la combinación lineal o superposición de estas eigenfunciones de base.

Esta es una afirmación general cuando los potenciales no están especificados, es decir, el Hamiltoniano , no está especificado. Entonces, para describir el estado de una partícula, existe la posibilidad de utilizar el conjunto de funciones propias procedentes de otros operadores mecánicos cuánticos específicos, por ejemplo, resolviendo las funciones propias del operador de momento .

Ejemplo :

Consideremos un electrón libre en una dimensión descrito por la función

$$\Psi(x)= C_1\psi_1(x) +C_2\psi_2(x)$$

$$\psi _1(x) = \left ( \frac {1}{2L} \right )^{1/2} e^{ik_1x}$$

$$\psi _2(x) = \left ( \frac {1}{2L} \right )^{1/2} e^{ik_2x} \tag {5-23}$$

donde k1 y k2 tienen magnitudes diferentes. Aunque dicha función no es una función propia del operador de momento o del operador hamiltoniano, podemos calcular el momento medio y la energía media de un electrón en este estado a partir de la integral de valor de expectativa. (Nota: en-este-estado significa descrito-por-esta-función).

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La función mostrada anteriormente pertenece a una clase de funciones conocidas como funciones de superposición, que son combinaciones lineales de funciones propias. Una combinación lineal de funciones es una suma de funciones, cada una multiplicada por un coeficiente de ponderación, que es una constante. El adjetivo lineal se utiliza porque los coeficientes son constantes. Las constantes, por ejemplo $C_1$ y $C_2$ en el , dar el peso de cada componente ( $\psi_1$ y $\psi_2$ ) en la función de onda total.

En el ejemplo anterior $\psi_1(x)$ el $\psi_2(x)$ son una función propia del operador de momento y también del operador hamiltoniano ( ya que no hay potencial en el problema) aunque la función de combinación lineal $\Psi$ no lo es.

En general, cuando se conoce el Hamiltoniano se definen los estados límite y las partículas llenarán los niveles de energía empezando por el estado más bajo de forma secuencial. Para llegar a un punto en el que sea necesaria una superposición de funciones propias el sistema no será un simple problema potencial de un átomo estable. Se necesitará una combinación lineal de eigenfunciones energéticas para la descripción de un conjunto de partículas en el que algunas se encuentran en estados excitados y hay entradas de energía por radiación, por ejemplo.

Para tu ejemplo después de la edición: si el modelo de potencial simple es adecuado para describir el sistema se evita la complejidad de las combinaciones lineales: la clave es "casi libre", por lo que existe un potencial solucionable y que se utiliza.