¿Cuál es la diferencia entre espacio muestral y variable aleatoria?

Question

Yo estaba pasando por este artículo y, en esta página, encontré la definición de una variable aleatoria y de un espacio muestral. Según esta página:

Una variable aleatoria es un conjunto de valores posibles de un experimento aleatorio.

A continuación, toma el ejemplo de lanzar una moneda al aire, define $Heads=0$ y $Tails=1$ y dice que $X = \{0, 1\}$ es una variable aleatoria.

A continuación, define el espacio muestral como

El conjunto de valores de una variable aleatoria es el espacio muestral.

A continuación, toma el ejemplo de lanzar un dado y afirma que el espacio muestral es $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .

Así pues, ambos términos se definen como un conjunto de resultados de un experimento y, como resultado, me confundí y no pude diferenciarlos.

¿Cuál es la diferencia entre espacio muestral y variable aleatoria?

También he consultado la WIkipedia y aunque puedo entender el artículo sobre el Espacio Muestral pero el artículo sobre la Variable Aleatoria parece demasiado técnico y no he podido comprenderlo.

Answer 1

A partir de la inferencia estadística de Casella y Berger,

Definición 1.1.1 El conjunto, $S$ de todos los resultados posibles de un experimento concreto se denomina espacio muestral del experimento.

Por lo tanto, el espacio muestral puede considerarse como todas las observaciones posibles que se pueden realizar a partir de un experimento concreto. Un espacio muestral para lanzar una moneda es un conjunto $\{H, T\}$ un espacio muestral para lanzar un dado de seis caras es un conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .

Definición 1.4.1 Una variable aleatoria es una función de un espacio muestral $S$ en los números reales

por lo que la variable aleatoria puede considerarse como una función. La notación utilizada para variable aleatoria es una letra mayúscula. Así, si tenemos una variable aleatoria que asigna el espacio muestral a números reales, tenemos $$X: S \to \mathbb{R}$$

En realidad, nadie expresa las variables aleatorias de esta forma; en su lugar, se suele denotar como $X$ .

Si esa variable aleatoria $X$ es un conjunto de valores posibles de un experimento aleatorio, entonces $$X: S \to S$$ por lo que la variable aleatoria es una función identidad.

Answer 2

Un espacio muestral es el CONJUNTO de valores que puede tomar una variable aleatoria.

Puedes pensar en la variable aleatoria como una caja sin abrir. Esta caja sin abrir contiene cada miembro del espacio muestral con cierta probabilidad.

En su ejemplo de una tirada de dados, el espacio muestral es {1,2,3,4,5,6}. La variable aleatoria que representa una tirada de dados tiene una probabilidad de 1/6 de tomar cada uno de estos 6 valores.

Answer 3

La respuesta de Amazonian es incorrecta. El espacio muestral NO ES el conjunto de valores que puede tomar una variable aleatoria. El espacio muestral es el dominio en el que se define una variable aleatoria . El ejemplo que dio Amazonian es un ejemplo de variable aleatoria cuyos valores resultan ser los elementos del espacio muestral.

Una variable aleatoria es una función que asigna un valor a cada elemento del espacio muestral. Nada impide definir una variable aleatoria X en el espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} donde X = 10 * s para s en S. A continuación, la función valores que puede tomar X son {10, 20, 30, 40, 50, 60}.

Answer 4

Cuando el espacio muestral está formado por

• exclusivamente de números reales (como en sus ejemplos),

hay ninguna diferencia entre el espacio de muestra y el variable aleatoria .

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La diferencia surge en otras situaciones porque

           el espacio muestral puede ser un conjunto de arbitraria elementos, por ejemplo $\{\color{red} {\text{red}}, \color{green} {\text{green}}, \color{blue} {\text{blue}}\}$ .

Con tal libertad de posibles resultados es difícil trabajar. Así que alguien inventó trabajar no con elementos arbitrarios pero sólo con números reales .

Para alcanzarlo, lo primero es asignan dichos elementos a números reales, Por ejemplo

\begin{aligned} \color{red} {\text{red }} &\mapsto 6.72\\ \color{green} {\text{green}} &\mapsto -2\\ \color{blue} {\text{blue}} &\mapsto 19.5 \end{aligned}

Y ese mapeo se llama variable aleatoria.

Así que ahora allí est una diferencia, porque

• el espacio de muestra est $\{\color{red} {\text{red}}, \color{green} {\text{green}}, \color{blue} {\text{blue}}\}$ mientras que
• el variable aleatoria es ese mapeo, a menudo interpretado libremente como el conjunto $\{\color{red} {6.72}, \color{green} {-2}, \color{blue} {19.5}\}$ .

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Nota:

¿Por qué es tan importante esa cartografía?

Porque nos libramos de los problemas de cómo operar con cosas arbitrarias - después de elegir un mapeo de este tipo podemos realizar cálculo con números.

Answer 5

Creo que la confusión proviene de la elección de los ejemplos utilizados. En aras de la claridad, utilicemos en su lugar el ejemplo del lanzamiento de 2 dados. Entonces, en ese caso el espacio muestral sería: {(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),...,(5,6),(6,5),(6,6)}. Una variable aleatoria no es más que una función que tiene este conjunto como dominio y los Reales como codominio (en estadística más avanzada se podrían utilizar otros codominios más abstractos). Así, por ejemplo, se podría definir una variable aleatoria como la suma de los resultados de los dados. Así, los diferentes resultados que se podrían obtener son: {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, y la probabilidad de que ocurra cada uno se deriva directamente del espacio muestral y de la probabilidad asociada a cada elemento del conjunto (en este caso particular cada elemento tiene la misma probabilidad, pero en general podría no ser así).

Desde una perspectiva formal, un espacio muestral es "más fundamental" que una variable aleatoria. No puede haber variable aleatoria sin la especificación de los elementos y sus correspondientes probabilidades del espacio muestral de su dominio.

Desde un punto de vista práctico, las variables aleatorias ofrecen 2 ventajas sobre los espacios muestrales simples: (i) son numéricas. Esto significa que se puede representar, por ejemplo, el lanzamiento de una moneda {H,T} en los valores numéricos {1,0}, y luego aplicar todo tipo de herramientas numéricas que no se pueden aplicar sobre elementos cualitativos. (ii) facilita el tratamiento de elementos con diferentes probabilidades. En el ejemplo dado, creamos fácilmente una distribución con diferentes probabilidades basándonos en un simple cálculo sobre un espacio muestral con elementos de igual probabilidad. Intentar crear artificialmente el resultado dado podría ser confuso y laborioso.

Es habitual utilizar simplemente una variable aleatoria sin especificar explícitamente su espacio muestral.