¿Cómo saber qué valor arbitrario elegir para épsilon como en este documento y ¿cuándo se debe tener en cuenta la desigualdad del triángulo al escribir la prueba?
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Luke Duddridge
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La desigualdad triangular será una herramienta que utilizará muy a menudo en el análisis. Muchas definiciones en análisis terminan con $``<\epsilon$ '', por lo que la desigualdad del triángulo se utiliza cuando se ha determinado que ciertos términos tienen límites y se nota que otra expresión que desea limitar de alguna manera se puede escribir en términos de los términos anteriores que ya tienen un límite para.
Por ejemplo, en el documento que ha enlazado, en el teorema $311$ saben utilizar la desigualdad del triángulo, porque han establecido los límites de los términos del lado derecho de la desigualdad del triángulo, a saber $|a_n-L_1|<\frac{\epsilon}{2}$ y $|a_n-L_2|<\frac{\epsilon}{2}$ por lo que la desigualdad del triángulo permite acotar $|L_1-L_2|$ ya que permite observar que $|L_1-L_2|=|L_1-a_n+a_n-L_2|\leq |L_1-a_n|+|a_n-L_2|<\epsilon$ .
En primer lugar, no sé qué quiere decir con "trucos una página 1". Si te refieres a esto: Estos teoremas se dividen en dos categorías. La primera se refiere a las formas de combinar secuencias. Al igual que los números, las secuencias se pueden sumar, multiplicar, dividir, ... Los teoremas de esta categoría tratan de las formas de combinar secuencias y de cómo obtener el límite del resultado. Si una sucesión puede escribirse como la combinación de varias sucesiones "más sencillas", la idea es que resulte más fácil hallar el límite de las sucesiones "más sencillas". Estos teoremas nos permiten escribir un límite en términos de límites más sencillos. sin embargo, seguimos teniendo límites que evaluar. La segunda categoría de teoremas trata de secuencias específicas y de técnicas aplicadas a ellas. Normalmente, calcular el límite de una sucesión implica utilizar teoremas de ambas categorías. -En realidad, no se trata de trucos, sino de una descripción intuitiva de lo que significan los teoremas y cómo se utilizan.
La primera es una estrategia general para atacar los problemas matemáticos en general, una estrategia de divide y vencerás. El ejemplo clásico es el método de agotamiento para hallar áreas y volúmenes desarrollado por los antiguos griegos, en el que una región u objeto general se subdivide en polígonos, esferas o círculos y se suman las áreas o volúmenes de los componentes individuales. Este método, por supuesto, acabó evolucionando hacia las modernas teorías de integración, mucho más precisas, pero la idea general de subdividir lo desconocido en cantidades conocidas sigue siendo la idea principal.
El uso de la desigualdad del triángulo es un componente importante de este enfoque -y una herramienta general en el período de análisis- porque establece que el valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos individuales, que suelen ser más fáciles de calcular o aproximar. La desigualdad del triángulo -en sus diversas formas- se utiliza cuando necesitamos reescribir un valor absoluto en partes de las que conocemos el valor absoluto. $\delta-\epsilon$ y podemos sumarlos para obtener el límite de toda la expresión. Un ejemplo perfecto es la demostración de que el límite de una suma es la suma de los límites de secuencias en el Teorema 3.11. Estúdialo con atención.
Esto forma parte de un problema más general que tienen los estudiantes principiantes con el cálculo cuidadoso. El análisis es el estudio de las desigualdades, de la estimación de cantidades dentro de ciertos límites. Esta es la razón por la que la mayoría de los estudiantes estadounidenses que salen del cálculo a lápiz -donde todo son igualdades y álgebra de cantidades absolutas que pueden calcularse sin pensar- se quedan completamente conmocionados en su primer curso de análisis, donde todo debe demostrarse mediante estimaciones.
Mi sugerencia es que estudies tantos ejemplos computados como sea posible, así como tantas desigualdades como puedas. Las inecuaciones son tan básicas para el análisis como las identidades trigonométricas lo son para el cálculo básico, y necesitas sentirte cómodo utilizándolas.
