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¿Existe una medida finitamente aditiva sobre R que no sea sigma-aditiva?

Consideremos el espacio medible habitual de número real (R,B(R)) . Mi pregunta es:

¿Existe una aplicación μ en B(R)[0,+] tal que :

i) μ es finitamente aditivo

ii) μ(R)<

iii) (An)B(R) eso:

a) AnAmn<m

b) lim

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MP24 Puntos 1390

Sí. Tome un ultrafiler no principal \omega en \mathbb{N} y defina \mu como sigue:

\mu(A)=0 si A\cap\mathbb{N} no pertenece a \omega ,

\mu(A)=1 si A\cap \mathbb{N} pertenece a \omega .

Esta medida es finitamente aditiva, y si A_n=\{0,1,\ldots,n\} entonces \mu(A_n)=0 para cada n mientras que \mu(\bigcup A_n)=\mu(\mathbb{N})=1 .

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