¿Existe una medida finitamente aditiva sobre R que no sea sigma-aditiva?

Question

Consideremos el espacio medible habitual de número real $( \mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ . Mi pregunta es:

¿Existe una aplicación $\mu$ en $\mathcal{B}( \mathbb{R}) \rightarrow [0,+\infty]$ tal que :

i) $\mu$ es finitamente aditivo

ii) $\mu( \mathbb{R}) < \infty$

iii) $\exists (A_n) \subset \mathcal{B}( \mathbb{R}) $ eso:

a) $ A_n \subset A_m \forall n<m $

b) $ \lim_{n\rightarrow \infty} \mu(A_n) < \mu( \cup_{n} A_n)$

Answer 1

Sí. Tome un ultrafiler no principal $\omega$ en $\mathbb{N}$ y defina $\mu$ como sigue:

$\mu(A)=0$ si $A\cap\mathbb{N}$ no pertenece a $\omega$ ,

$\mu(A)=1$ si $A\cap \mathbb{N}$ pertenece a $\omega$ .

Esta medida es finitamente aditiva, y si $A_n=\{0,1,\ldots,n\}$ entonces $\mu(A_n)=0$ para cada $n$ mientras que $\mu(\bigcup A_n)=\mu(\mathbb{N})=1$ .