Demostrar que una función está en el grupo simétrico

Question

Sea $G$ sea un grupo y que $g\in G$ . La función $f:G\rightarrow G$ se define por $f(x)=gx$ para todos $x\in G$ . Demostrar que $f\in S_G$ donde $S_G$ es el grupo simétrico del conjunto $G$ .

No sé cómo demostrar tal afirmación. Es evidente que tenemos que $f$ actúa sobre $G$ a sí mismo, pero más allá de eso no estoy seguro de cómo probar la afirmación

Answer 1

Desde

$$\begin{align} h:G&\to G, \\ x&\mapsto g^{-1}x \end{align}$$

es un inverso de $f$ tenemos que $f$ es una biyección en $G$ . Así $f\in S_G$ .

Answer 2

Pista: Demostrar $ f:G\rightarrow G $ desafiado por $ f(x)=gx$ es una biyección de $G$ sobre sí misma.

Creo que se puede demostrar fácilmente que la función es biyectiva.