Calcular la potencia n de una matriz (diagonalizable + nilpotente)

Question

Tengo $A=\begin{bmatrix} 4&2\\-2&0\end{bmatrix}$ y tuve que demostrar que $A=N+D$ donde $N$ es nilpotente y $D$ es diagonalizable.

Entonces encontré $N=\begin{bmatrix} 2&2\\-2&-2\end{bmatrix}$ y $D=\begin{bmatrix} 2&0\\0&2\end{bmatrix}$ que es diagonal (y diagonalizable).

Ahora necesito dar una expresión para $A^{n}$ y no tengo ni idea de qué hacer. ¿Pueden darme una pista?

Answer 1

Obsérvese que la matriz diagonal $\;D\;$ es mucho más que una simple diagonal: es una matriz escalar, ya que $\;D=2I\;$ y, por tanto, conmuta con todos matrices cuadradas $\;2\times2\;$ y así se puede aplicar el teorema binomial de Newton:

$$A^n=\left(N+D\right)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk N^nD^{n-k}$$

...y ahora podrías usar lo que sabes sobre $\;N,\,D\;$ ...