Encontrar funciones monótonas que vayan de $0$ a $+\infty$ para $x \in (-\infty,+\infty)$ (similar a $e^x$ )

Question

¿Cómo podemos encontrar funciones en $\mathbb{R}$ con propiedades de tipo exponencial, a saber:

• $f(x)$ es infinitamente diferenciable;
• $f(x)$ y todas sus derivadas son monótonas;
• $f(x)$ y todas sus derivadas obedecen a los siguientes límites:

$$\lim_{x \to -\infty}f(x)=0$$

$$\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$$

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Una de estas funciones es, obviamente, el propio exponente ( $a,b$ - constantes reales positivas):

$$f(x)=ae^{bx}$$

Otra función que parece tener estas propiedades (no sé cómo demostrarlo) es la "función de Sophomore":

$$s(x)=\int_0^1 u^{-u~x} du=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k-1}}{k^k}$$

Para la demostración de la fórmula integral, véase esta respuesta por Sangchul Lee.

Las derivadas son fáciles de encontrar (tanto para la serie como para la fórmula integral) y todas parecen obedecer las propiedades anteriores:

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¿Cómo podemos encontrar otras funciones de este tipo?

Y (relacionado) cómo demostrar que $s(x)$ tiene estas propiedades?

Answer 1

Si $g(x) \ge 0$ , $\lim_{x \to -\infty} g(x) = 0$ , y $\int_{-\infty}^{\infty} g(t) dt = \infty $ , entonces $f(x) =\int_{-\infty}^x g(t) dt $ es una función de este tipo.

(añadido un poco más tarde)

Si quieres todas las derivadas sean monótonas, imponga esa restricción en $g$ .