Fórmula para la esperanza condicional en una muestra binomial

Question

Tomemos $N$ variables estocásticas i.i.d. $X_i$ donde $X_i \sim Bin(n,p)$ .

Inspirándose en aquí , deberíamos tener los siguientes datos:

1. $Var(X_i)=np(1-p)$ .
2. Estadísticas de la muestra $M(X_1,...,X_n)=\frac{\sum_i X_i}{N}$ es una estadística suficiente y completa.
3. El estimador MLE para $np(1-p)$ es $T_{MLE}=nM(1-M)$ .

Combinando estos puntos tenemos que el $T_{MLE }$ también es UMVUE por el Lema de Lehmann-Scheffe .

Ahora tenemos también el siguiente hecho:

4. La varianza (corregida) de la muestra $S^2=\frac{1}{N-1}\sum_i{(X_i-M)^2}$ es una estimación insesgada de $Var(X_i)$ .

De Lehmann-Scheffe' deberíamos tener entonces por coherencia:

$$E[S^2\mid M]=nM(1-M)$$

Mis preguntas:

• ¿Es correcto mi razonamiento o estoy aplicando algún teorema de forma equivocada?

• Si el razonamiento es correcto, ¿cuál sería una derivación directa del resultado final? ¿Es la fórmula trivial por alguna razón que ahora no veo?

Answer 1

Tu razonamiento es correcto excepto que MLE no es la UMVUE de la varianza poblacional.

Una estadística suficiente completa para $p$ es $T=\sum\limits_{i=1}^N X_i$ que tiene un $\mathsf{Bin}(nN,p)$ distribución.

Ahora $E_p[T]=nNp$ y $\operatorname{Var}_p[T]=nNp(1-p)$ para todos $p\in(0,1)$ .

Otra vez, $$E_p[T^2]=\operatorname{Var}_p[T]+(E_p[T])^2=nNp(1-p)+n^2N^2p^2$$

O, $$E_p[T^2-T]=nNp^2(nN-1)$$

Eso es, $$E_p\left[\frac{T(T-1)}{N(nN-1)}\right]=np^2$$

Así que tienes un estimador insesgado de la varianza de la población basado en $T$ (y, por tanto, UMVUE):

$$E_p\left[\frac TN-\frac{T(T-1)}{N(nN-1)}\right]=np-np^2=np(1-p)\quad,\forall\,p\in(0,1)$$

Con $\overline X=\frac TN$ la varianza muestral $S^2=\frac1{N-1}\sum\limits_{i=1}^N (X_i-\overline X)^2$ es insesgada para la varianza de la población. Así que por Lehmann-Scheffe, $E\left[S^2\mid T\right]$ es también UMVUE de $np(1-p)$ .

Como UMVUE es único siempre que existe, se puede decir

$$E\left[S^2\mid T\right]=\frac TN-\frac{T(T-1)}{N(nN-1)}\tag{*}$$

Esto puede reescribirse en términos de $\overline X$ por supuesto.

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Una forma directa de obtener $(*)$ sería proceder utilizando la linealidad de la expectativa.

Creo que debería ser algo como

\begin{align} E\left[S^2\mid T=t\right]&=E\left[\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N\left(X_i-\frac tN\right)^2\mid T=t\right] \\&=E\left[\frac{1}{N-1}\left(\sum_{i=1}^N X_i^2-\frac{t^2}{N}\right)\mid T=t\right] \\&=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N E\left[X_1^2\mid T=t\right]-\frac{t^2}{N(N-1)} \end{align}

Ahora sólo tenemos que recordar que $X_1$ condicionado a $T$ tiene una distribución hipergeométrica.