Como queremos hablar de la suma de cardinales, primero tenemos que asegurarnos de que sabemos qué es una suma infinita de cardinales.
Y antes de eso tenemos que dejarlo perfectamente claro. Estos ya no son números naturales. Son cardinales finitos.
Supongamos que $I$ es un conjunto de índices, y para cada $i\in I$ tenemos un cardenal $a_i$ entonces $\sum\limits_{i\in I} a_i$ es la cardinalidad de $\bigcup\limits_{i\in I}A_i$ , donde $\{A_i\mid i\in I\}$ es un conjunto de conjuntos disjuntos por pares, y $|A_i|=a_i$ .
Pero, ¿por qué está bien definido? Es decir, dados dos cardenales, $a,b$ sabemos que $a+b$ está bien definida. Si $A,A'$ tienen cardinalidad $a$ y $B,B'$ tienen cardinalidad $b$ y $A\cap B=A'\cap B'=\varnothing$ entonces $|A\cup B|=|A'\cup B'|$ . ¿Cómo lo demostramos? Elegimos alguna bijección de $A$ a $A'$ y de $B$ a $B'$ y demostramos que la unión de estas biyecciones es una biyección entre la unión de los conjuntos.
Bueno, eso está muy bien. ¿Pero qué pasa cuando tenemos una suma infinita? Bueno, si tenemos una suma infinita entonces tenemos que hacer infinitas elecciones. Y aquí tenemos que apelar al axioma de elección. Pero supongamos, por un momento, que el axioma de elección se cumple. En este caso se puede aplicar la misma idea al caso infinito, elegimos biyecciones como antes y demostramos que cada dos uniones de estas cardinalidades tendrán el mismo tamaño.
Así que para calcular lo que es $\sum\limits_{n\in\Bbb N} n$ necesitamos encontrar un conjunto que se pueda dividir en infinitas partes, cada una de las cuales tenga la cardinalidad de un conjunto finito diferente. Podemos hacerlo explícitamente con $\Bbb N$ (como muestra otra respuesta), o podemos utilizar teoremas para demostrar que efectivamente $\Bbb N$ en sí mismo es tal conjunto. En cualquier caso, tenemos que $\sum\limits_{n\in\Bbb N}n=\aleph_0$ .
También podemos utilizar otros teoremas sobre la aritmética cardinal para acotar esta suma por arriba y por abajo mediante $\aleph_0$ . Por ejemplo, $$\aleph_0=\sum_{n\in\Bbb N}1\leq\sum_{n\in\Bbb N}n\leq\sum_{n\in\Bbb N}\aleph_0=\aleph_0.$$ La primera igualdad se mantiene porque $\Bbb N$ es la unión de $\aleph_0$ singletons; la segunda y la tercera son obvias; y la última igualdad es cierta porque en presencia del axioma de elección las sumas repetidas se pueden convertir en una multiplicación, por lo que esto es simplemente $(\aleph_0)^2=\aleph_0$ .
Pero, ¿qué pasaría si decidimos no aceptar el axioma de la elección? Bueno, entonces no podemos garantizar necesariamente que podamos elegir biyecciones al considerar sumas infinitas de cardinales. ¿Podría eso afectar al resultado? Sí, sí puede.
Consideremos el caso en el que existe un conjunto de Russell, es decir, un conjunto infinito que puede escribirse como una unión contable de pares disjuntos, pero no hay ninguna función que elija un elemento de cada par. Sea $S$ sea dicho conjunto, y $\{S_n\mid n\in\Bbb N\}$ sea dicha partición. Observamos inmediatamente que $S$ no es contable, a pesar de ser una unión contable de pares. ¿Por qué? Si fuera contable, podríamos haber enumerado sus elementos y elegir de cada uno $S_n$ el que tiene un índice menor.
Ahora la suma $\sum\limits_{n\in\Bbb N}2$ puede depender de si elegimos o no el $n$ -a par como $S_n$ o como $\{2n,2n+1\}$ . En el primer caso tenemos una unión contable de conjuntos de tamaño $2$ cuyo tamaño no es contable; en este último caso tenemos una unión contable de conjuntos de tamaño $2$ cuyo tamaño es contable. Así que la suma infinita no está bien definida.
Por supuesto, a partir de esto podemos crear fácilmente un ejemplo en el que haya conjuntos de tamaño $n$ cuya unión no es contable. Basta con inflar el $S_n$ sumando números naturales. La unión de estos conjuntos inflados tendrá $S$ como subconjunto, por lo que no podría ser contable (ya que los subconjuntos de un conjunto contable son contables ellos mismos); y por otro lado, bueno... $\Bbb N$ es la unión de $\aleph_0$ conjuntos finitos de tamaño creciente como antes.
(Y lo único que falta es que me creas que es consistente que exista un conjunto de Russell, y que es consistente con el fracaso del axioma de elección).
