Sea $X_1, X_2, \cdots$ sean i.i.d. tales que $X_i > 0$ y $\mathbb E[X_i]=1$ y considerar $\mathbb F = \{\mathcal F_n\}_{n\ge 1}$ para ser la filtración discreta. Denotemos $Y_n = \prod\limits_{i=1}^n X_i$ . Necesito demostrarlo:
i. Para cualquier delimitado $\tau \in \mathbb F$ tenemos $\mathbb E[Y_{\tau}]=1$ .
y el para cualquier $\tau \in \mathbb F$ incluyendo , si $\mathbb E[ sup_{1\le n\le\tau} Y_n] < \infty$ entonces $E[Y_{\tau}]=1$ .
Pensé que necesitaba utilizar conocimientos de la teoría Martingale para encontrar un $\alpha$ tal que $e^{\alpha Z_i} = X_i$ y por lo tanto $\mathbb E[e^{\alpha Z_i}]=1$ . Entonces $Y_n = e^{\alpha S_n}$ donde $S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i$ y suponiendo que $\tau = \min\{\tau_{-a},\tau_b\}$ para algunos $a,b>0$ que satisfagan $\mathbb E[e^{\alpha S_{\tau}}]=1$ . Entonces tendré las dos ecuaciones siguientes:
$\mathbb E[e^{\alpha S_{\tau_{-a} \wedge \tau_b}}] = e^{-\alpha a} P(\tau_{-a} < \tau_b) + e^{\alpha b} P(\tau_{-a} > \tau_b)$
y
$1 = P(\tau_{-a} < \tau_b) + P(\tau_{-a} > \tau_b)$
Pero entonces no sé cómo ampliar esto para obtener los resultados requeridos. Me pregunto si usted podría por favor compartir sus pensamientos sobre esto.
