minimizar una norma y una función lineal

Question

Sea $y,\lambda\in\mathbb{R}^n$ . Quiero minimizar lo siguiente con respecto a $y$ . $$ f(y)=||y|| + \lambda^Ty $$ donde $||y||$ es la norma euclidiana. Primero tomo la derivada de la función y obtengo $$ \nabla f(y) = \frac{y}{||y||} + \lambda $$ Luego intenté obtener la matriz hessiana pero no pude concluir nada. Es $f(y)$ ¿es una función convexa? Si no es así, ¿cómo puedo encontrar el mínimo de esta función?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\|y\|+\langle \lambda,y\rangle\geq \|y\|(1-\|\lambda\|) $$

De la última desigualdad concluimos que si $\|\lambda\|\in [0,1]$ entonces el mínimo de $f$ es cero.

Por otra parte, si $\|\lambda\|>1$ puede tomar $y=-t\lambda$ y hacer $t\rightarrow\infty$ para concluir que $f(-t\lambda)\rightarrow-\infty$ .

Answer 2

Si $y'$ es un mínimo y no es 0, entonces que $c>0$ ,

Entonces $f(cy') = ||cy'|| + c\lambda^Ty'=c( ||y'|| + \lambda^Ty') $

Esta función es cero en cero, por lo que no va a obtener un mínimo que es menor que cero por este cálculo.