Cuando uno se pregunta estas cosas, probablemente sea buena idea empezar a aprender sobre complejos simpliciales abstractos y conjuntos simpliciales.
Un complejo simplicial abstracto es una colección de conjuntos $X_n$ (los n-símplices), indexados por los enteros no negativos, y los mapas de frontera $d_i: X_{n+1} \rightarrow X_n$ si $0 \leq i \leq n+1$ que satisfacen algunas relaciones derivadas del caso de los complejos simpliciales habituales.
Se trata de una generalización obvia si sólo nos interesan los complejos simpliciales y los mapas simpliciales entre ellos. Se puede utilizar el functor "realización geométrica" y el functor "olvidar la topología" para ir y venir entre complejos simpliciales y complejos simpliciales abstractos. El funtor "olvida la topología" es sencillo, basta con traducir los mapas de frontera y los n-simplícitos a un complejo simplicial abstracto. El functor "realización geométrica" simplemente toma un n-simplex para cada objeto en $X_n$ y pega los límites a los (n-1)-símplices creados previamente mediante la información de los mapas de límites.
Un mapa complejo simplicial abstracto no es más que una colección de mapas $X_i \rightarrow Y_i$ que respeten los mapas de límites. Si uno sabe un poco de teoría de categorías, esto parece maduro para describirlo mediante diagramas conmutativos, y se puede ver que es lo mismo que la colección de funtores $\operatorname{Bad}\Delta ^{op} \rightarrow \operatorname{Set}$ donde $\operatorname{Bad}\Delta$ tiene como objetos los conjuntos $\{0,1,\dots,n\}=[n]$ y las flechas los mapas estrictos de preservación del orden entre ellos.
Sin hablar demasiado de teoría de categorías, la razón $\operatorname{Bad}\Delta$ es malo en este contexto es que sólo codifica información sobre cómo podemos incluir símplices entre sí. También nos gustaría poder hablar de mapas simpliciales que colapsan n-símplices en símplices más pequeños. La forma de arreglar esto es definiendo $\Delta$ para tener los mismos objetos que $\operatorname{Bad}\Delta$ pero los mapas entre ellos son mapas que preservan el orden. Entonces llamamos a la categoría de functores $\operatorname{Set}^{\Delta^{op}}$ la categoría $\operatorname{SSet}$ . Cualquier objeto de esta categoría se denomina conjunto simplicial. Cuando se construye un conjunto simplicial, basta con proporcionar sólo mapas $d_i :X_m \rightarrow X_{m-1}$ y $s_i :X_m \rightarrow X_{m+1}$ siempre que cumplan algunas relaciones. Los primeros se denominan mapas de caras y los segundos mapas de degeneración.
La definición es muy similar, pero ahora nuestros modelos para el n-símplex quizás no sean obvios (¡comprueba que cualquier conjunto simplicial no vacío tiene simplicies en cada dimensión!) Sin embargo, dejamos que la intuición categórica nos guíe un poco, y definimos "el" n-símplex de nuestra categoría como el functor $\operatorname{Hom}(-,[n])$ Si estás familiarizado con el lema de Yoneda, puede ser bueno utilizarlo aquí para comprobar que se trata de una buena definición.
Una última cosa sobre los conjuntos simpliciales antes de abordar tu problema. Llamamos a un n-símplex de un conjunto simplicial degenerado si está en la imagen de un mapa inducido por una flecha $\Delta ^{n+1} \rightarrow \Delta^{n}$ (uno de los mapas de degeneración). Resulta que podemos hacer un functor de realización geométrica similar que toma un conjunto simplicial y nos da un espacio topológico vía pegado, y que los símples degenerados no afectan al espacio que obtenemos.
Aquí hay algunas cosas que son bastante fáciles de probar:
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El producto en $\operatorname{SSet}$ viene dado por el producto de los conjuntos de símplices con degeneración y los mapas de frontera dados por sus productos.
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La realización geométrica conmuta con los productos (al menos para conjuntos simpliciales con sólo un número finito de símplices no degenerados).
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Nuestro modelo para un n-símplex es equivalente al conjunto simplicial que tiene k-símplices no degenerados los k-símplices del n-símplex habitual con mapas de caras (límites) $d_i$ dada por el olvido de la coordenada i-ésima y los mapas de degeneración $s_i$ dada por la repetición de la coordenada i-ésima. En total, se trata de cadenas de números débilmente crecientes en $[n]$ .
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La realización de nuestro modelo de un n-simplex es un n-simplex.
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Si cada cara de un n-simplex es no degenerada y única, y cada cara tiene la misma propiedad, entonces su porción correspondiente de la realización geométrica será topológicamente un n-simplex. Si cada símplex no degenerado tiene esta propiedad y no hay dos que tengan más de una cara en común, existe una triangulación de la realización dada por el olvido de los símplex degenerados.
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Si todo k-simplex no degenerado está en la imagen del mapa de caras de un (k+1)-simplex no degenerado para todo $k <n$ y no hay simplices no degenerados de dimensión superior a $n$ , entonces la realización geométrica es una unión de las n-símplices topológicas (que podrían tener algunos límites identificados) correspondientes a las n-símplices no degeneradas con intersecciones dadas por mapas de caras, de índice posiblemente diferente, que coinciden.
Demostremos que para $n=p+1$ la hipótesis de la afirmación 6 se cumple para $\Delta ^p \times \Delta^1$ . Un k-simplex de esto se parece a $([v_0,\dots,v_k],[w_0,\dots, w_k])$ donde el $v_i$ están en $[p]$ y débilmente creciente y el $w_i$ están en $[1]$ y débilmente creciente. Nos gustaría clasificar cómo son las no degeneradas. A partir de nuestras consideraciones anteriores, esto es lo mismo que pedir que para todas las $0 \leq i < k$ no es el caso que $v_i = v_{i+1}$ y $w_i=w_{i+1}$ . Consideremos cuándo esto no sucede. Si el $[v_0,\dots,v_k]$ tiene dos índices $i,j$ tal que $v_i = v_{i+1}$ y $v_j = v_{j+1}$ entonces debe ser degenerada. Esto se debe a que todos los símplices de $\Delta^1$ parecer $[0,0,\dots,0,1,1,\dots,1]$ y si un par no degenerado $([v_0,\dots,v_k],[w_0,\dots, w_k])$ tiene una repetición en los vértices del primer simplex en el índice $i$ debe llegar precisamente al índice en el que el segundo simplex pasa de $0$ a $1$ porque de lo contrario $([v_0,\dots, v_i,v_{i+2},\dots v_k],[w_0=0,\dots,w_i=0,w_{i+2}=1,\dots,w_k=0])$ lo tendría como su i-ésima degeneración. Así que el primer simplex nunca puede tener múltiples repeticiones; puede tener exactamente una repetición si ocurre cuando el segundo simplex cambia de 0 a 1; y claramente si el primer simplex no tiene repeticiones no puede estar en la imagen de un mapa de degeneración.
Todos estos últimos son la imagen de un simplex no degenerado bajo un mapa de caras porque podemos construir directamente un simplex no degenerado repitiendo un índice del primer simplex exactamente donde el intercambio de $0$ a $1$ se produce en el segundo simplex. Más se puede decir, si los primeros no son la imagen de un simplex no degenerado bajo un mapa de caras, estos todos tienen $k=p+1$ ya que de lo contrario podríamos insertar un nuevo vértice para construir un simplex del que es una cara. Si $k=p+1$ esto no puede ocurrir ya que tendríamos que tener dos repeticiones en el primer simplex de cualquier cosa de la que sea cara.
Así que por nuestro razonamiento anterior y los hechos fáciles de probar, tenemos que la realización de $\Delta^p \times \Delta ^1$ es igual a $\Delta^p \times I$ como espacio topológico, y que es la unión de las realizaciones de los símplices $([0,1,\dots,l,l,l+1,\dots,p],[0,\dots,0,1,\dots,1])$ . Cada cara de uno de estos símplices es claramente única y, según nuestras observaciones, no degenerada, teniendo todas las caras la misma propiedad con respecto a sus caras. Por tanto, en la realización, el símplex correspondiente a cualquier símplex no degenerado es homeomórficamente un símplex. Los únicos (p+1)-símplices no degenerados que comparten caras son entonces los de la forma $([0,1,\dots,l,l,l+1,\dots,p],[0,\dots,0,1,\dots,1])$ y $([0,1,\dots,l+1,l+1,l+2,\dots,p],[0,\dots,0,1,\dots,1])$ porque a través de la secuencia de 0 y 1 junto con el conocimiento de que, en su caso, los índices de la primera simplex se repiten, de cualquier no degenerado p-símplex podemos reconstruir el no degenerado (p + 1) -símplex es una cara de ser uno de los anteriores. Además, si el p-símplex es una cara de ambos de estos (p+1)-símplex, es la única cara.
Espero que esto sea satisfactorio: hemos llegado a una descomposición de un espacio homeomorfo a $\Delta ^p \times I$ en (p+1)-símplices con la propiedad de que bajo la ordenación obvia las únicas intersecciones vienen dadas por los símplices adyacentes que se intersecan en un p-símplex, y tiene una triangulación global dada por los símplices no degenerados del conjunto simplicial.
