Cómo mostrar $\text{tr}(aa^T A_1-bb^T A_2)\leq c_0 \text{tr}((a-b)(a-b)^T)$ .

Question

Supongamos que $a, b\in \mathbb{R}^{n\times 1}, A_1, A_2 \in \mathbb{R}^{n \times n}, $ y $A_1, A_2$ simétrica, si existe una const $c_0$ s.t \begin{equation}\begin{pmatrix}A_1 &0 \\0& -A_2 \end{pmatrix} \leq c_0 \begin{pmatrix}I& -I\\ -I& I\end{pmatrix}\end{equation} Cómo mostrar: $$\text{tr}(aa^T A_1-bb^T A_2)\leq c_0 \text{tr}((a-b)(a-b)^T) \quad (1)$$

De la condición, sólo sabemos \begin{equation}c_0\begin{pmatrix}I& -I\\ -I& I\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} A_1 &0 \\\0& -A_2 \end{pmatrix}\end{equation}es semi positiva definida,no se como probar la relación con la traza en (1). ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Para simplificar, escribiré $'$ para la transposición. Sea $$ M=c_0\begin{pmatrix}I&-I\\-I&I\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}A_1&0\\0&-A_2\end{pmatrix}. $$ Entonces con $c=(a',b')'$ tenemos $$ c'Mc\geq 0\iff c_0[a'a-2a'b+b'b]\geq a'A_1a-b'A_2b.\tag{$ * $} $$ Queda por reconocer que ( $*$ ) es la desigualdad que buscas utilizando propiedades elementales de la traza: $$ \text{tr}(aa'A_1-bb'A_2)=\text{tr}(aa'A_1)-\text{tr}(bb'A_2)=\text{tr}(a'A_1a)-\text{tr}(b'A_2b)=a'A_1a-b'A_2b,\\ \text{tr}[(a-b)(a-b)']=\text{tr}[(a-b)'(a-b)]=(a-b)'(a-b)=a'a-2a'b+b'b. $$