Suma directa de subespacios vectoriales

Question

¿En qué difiere la suma directa de dos subespacios vectoriales de la suma de dos subespacios vectoriales, es decir, cómo es $X \oplus Y$ diferente de $X + Y$ donde $X, Y$ son subespacios.

Answer 1

Por ejemplo, en $\mathbb{R}^3$

$$\langle e_1 \rangle + \langle e_2, e_3 \rangle = \langle e_1 \rangle \oplus \langle e_2, e_3 \rangle$$

es una suma directa. Mientras que

$$\langle e_1, e_2 \rangle + \langle e_2, e_3 \rangle$$

no lo es.

EDITAR. $\langle e_1 \rangle$ representa el subespacio vectorial generado por el vector $e_1 = (1,0,0)$ . Tal vez lo escribas tú $\mathrm{span}(e_1)$ ? El resultado de ambas sumas es el mismo, es decir, el conjunto $\mathbb{R}^3$ .

La cuestión es que la primera suma es un directo uno porque $\langle e_1 \rangle \cap \langle e_2, e_3\rangle = \left\{ (0,0,0)\right\}$ mientras que $\langle e_1,e_2 \rangle \cap \langle e_2, e_3 \rangle = \langle e_2\rangle$ . Por lo tanto, el último es no una suma directa.