Independencia de una variable aleatoria y su expectativa condicional

Question

Sea $(\Omega, \mathcal{F},\mathcal{P})$ sea un espacio de probabilidad.

Sea $\mathcal{H} \subset \mathcal{F}$ sea un sub $\sigma$ -y sea $X\in L^1(\Omega, \mathcal{F},\mathcal{P})$ sea una variable aleatoria.

Supongamos que $\mathcal{H}$ es independiente de $\sigma(\sigma(X),\mathcal{G})$ .

Entonces, quiero demostrar que

(1) $I_{H}$ y $I_{G}X$ son independientes.

(2) $I_{H}$ y $I_{G}E[X \mid \mathcal{G}]$

donde $H \in \mathcal{H}, G \in \mathcal{G}$ y $E[X \mid \mathcal{G}]$ denota la esperanza condicional $X$ dado $\mathcal{G}$ .

Para (1), sé que $\sigma(I_{H}) = \{\Omega,\emptyset,H,H^c\}$ pero no sé qué $\sigma(I_{G}X)$ . Del mismo modo, no pude caracterizar lo que $\sigma(I_{G}E[X \mid \mathcal{G}])$ aparte de decir que $\sigma(I_{G}E[X \mid \mathcal{G}]) = \{ (I_{G}E[X \mid \mathcal{G}])^{-1}(B), \text{ where B is Borel} \}$ .

¿Cómo debo proceder?

Answer 1

Pistas:

1. Ambos $1_G X$ y $1_G \mathbb{E}(X \mid \mathcal{G})$ son medibles con respecto a $\sigma(\sigma(X),\mathcal{G})$ .
2. Desde $\mathcal{H}$ y $\sigma(\sigma(X),\mathcal{G})$ son, por hipótesis, independientes, se deduce del primer paso que $1_H$ y $1_G X$ así como $1_H$ y $1_G \mathbb{E}(X \mid \mathcal{G})$ son independientes.