Una pregunta límite (JEE $2014$ )

Question

La siguiente es una pregunta de la prueba de acceso a la universidad (JEE):

Hallar el mayor valor del entero no negativo ( a ) para el que:

$$ \displaystyle \lim_{x \to 1} \left( \dfrac{-ax + \sin(x-1) + a} { x + \sin(x-1) -1 } \right)^{\dfrac{1-x}{1-\sqrt x} } = \dfrac 1 4 $$

Al resolver esto, obtenemos $ a = 0 $ o $ a = 2 $ . Así que tomamos la respuesta como $ 2 $ . Pero la clave de respuestas oficial dice que la respuesta es $ 0 $ . La razón dada (no en la clave oficial - que simplemente contienen la respuesta. Vi la razón en una solución "no oficial" del cuestionario) es que si $ a = 2 $ entonces el término $\displaystyle \dfrac{-ax + \sin(x-1) + a} { x + \sin(x-1) -1 } $ tiende a un valor negativo ( $-0.5$ ). Así que $ a = 0$ .

PERO :

Poniendo $a = 2$ en el límite, e introduciéndolo en wolframalpha ( http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim(+(+(-2x+%2B+2+%2B+sin(x-1)+)+%2F+(+x+-+1+%2B+sin(+x+-+1)+)+)+%5E+(+(1-x)%2F(1-sqrt(x))+)+)+as+x+tends+to+1 ), la respuesta resulta ser $0.25$ . Por lo tanto, al poner $ a = 2$ también, obtenemos el mismo valor del límite - $0.25$ .

¿Cómo resolver este conflicto? Además, ¿podrías comprobarlo con Mathematica? Por desgracia, no tengo acceso a él.

(Esto es muy importante, ya que el cambio en la clave de respuestas afectará a la clasificación de forma drástica).

Answer 1

Pour $a = 2$ tenemos - escritura $x = 1 + \delta$ - la expresión

$$\left(\frac{\sin\delta - 2\delta}{\sin\delta + \delta}\right)^{\Large\frac{\delta}{\sqrt{1+\delta}-1}}.\tag{1}$$

Para la mayoría $0 < \lvert\delta\rvert < 1$ el exponente no es un número racional.

Así que la pregunta es: ¿Elevar un número real negativo a una potencia no racional tiene sentido o no?

Si no tienes reparos en utilizar números complejos (como Wolfram), la expresión tiene sentido, y el límite como $\delta\to 0$ es $\frac{1}{4}$ No hay problema.

Al parecer, los creadores de la prueba tenían reparos en utilizar números complejos y decidieron que la expresión $(1)$ no tiene sentido en general.

Answer 2

Estudiemos la base de la exponencial: $$ \lim_{x\to1}\frac{-ax+\sin(x-1)+a}{x+\sin(x-1)-1}\overset{\mathrm{H}}{=} \lim_{t\to0}\frac{-a+\cos(x-1)}{1+\cos(x-1)}=\frac{1-a}{2} $$ ("H" denota una aplicación del teorema de l'Hôpital). Por tanto, el límite sólo es no negativo para $a\le1$ . En particular, siendo la base continua después de extenderla a $0$ con el límite, si $a>1$ existe una vecindad de $1$ donde su función no está definida (la base de una exponencial debe ser no negativa).

El límite ahora no plantea ningún problema, porque el exponente es $1+\sqrt{x}$ (para $x\ne0$ ), por lo que su límite es $$ \left(\frac{1-a}{2}\right)^2 $$ que es igual a $1/4$ sólo si $$ \left(\frac{1-a}{2}=\frac{1}{2} \quad\text{or}\quad \frac{1-a}{2}=-\frac{1}{2}\right) \quad\text{and}\quad a\le1 $$ es decir, $a=0$ .

Answer 3

Cualquiera que sea el límite (finito) dentro del paréntesis principal ( $\frac{1-a}2$ ), el límite del exponente es $2$ (se simplifica en $x+\sqrt x$ ), y la expresión completa es positiva.

Solución: $a=2.$

ACTUALIZACIÓN:

El poder de un negativo (cuando $a=2$ ) pueden tratarse con logaritmos complejos: $$\lim_{x\rightarrow1}\ln(-|f(x)|)^{g(x)}=\lim_{x\rightarrow1}(g(x)(\ln |f(x)|+i\pi))=\lim_{x\rightarrow1} g(x)\lim_{x\rightarrow1}(\ln |f(x)|+i\pi)=2\ln\frac12+2i\pi.$$

Answer 4

La respuesta oficial es correcta.

En efecto, tenemos $$\lim_{x\to 1}\frac{\sin(x-1)-a(x-1)}{\sin(x-1)+(x-1)}=\lim_{x\to 1}\frac{\cos(x-1)-a}{\cos(x-1)+1}=\frac{1-a}{2}$$ Así, si $a=2$ la base es negativa en una vecindad de $1$ y, a menos que consideres la exponenciación compleja, no puedes elevar un número negativo a un número irracional.