Esta función parece ser monotónica, pero curiosamente Wolfram alpha y otras utilidades matemáticas simbólicas que he probado no han sido capaces de invertir esto (aka resolver para x=).
¿Es posible invertir esta función? En caso negativo, ¿por qué es tan difícil?
La función inversa podría representarse como una serie infinita.
En $$y=x+\sin x$$ la función inversa satisface, $$ y+\sin y = x $$
Sea $$y=y(0)+ y'(0)x + y''(0) x^2/2+.....$$
Podemos hallar las derivadas utilizando la ecuación $$ y+\sin y = x $$
Tenemos $y(0)=0$ .
Diferenciación de $$ y+\sin y = x $$ implica $$ y'+\cos y y'=1$$
Evaluar en $x=0$ tenemos $ y'(0)=1/2 $
Del mismo modo podemos encontrar derivadas superiores y hallar la serie de potencias para $y$ .
La función $f(x) = \sin(x) + x$ es de hecho invertible. Usted tiene $f'(x) = \cos(x) + 1 \ge 0$ para que vaya en aumento. Dado que $f'(x) = 0$ sólo en los puntos aislados $x_k = (2k+1)\pi$ es estrictamente creciente. Además $lim_{x\to \pm \infty} f(x) = \pm \infty$ para que $f$ es una biyección $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ .
Por desgracia, la inversa de $f$ no puede expresarse en términos de "funciones elementales". Sin embargo, como ha explicado Mohammad Riazi-Kermani, se puede encontrar una serie de potencias que permite aproximar $f^{-1}$ .
Una forma de obtener una aproximación finita que pueda funcionar es escribir la inversa recursivamente.
$$y+\sin y = x$$ $$y = x-\sin y$$ $$y = x - \sin(x-\sin(y))$$ $$y = x-\sin(x-\sin(x-\sin(\cdots)))$$ En este punto puedes elegir arbitrariamente tantos pasos recursivos como quieras para intentar mejorar esto.
Ahora para demostrar que esto funciona, voy a mostrar que para esta recurrencia, $a_{n+1}=a_0 - \sin(a_n)$ la diferencia $|a_{n+1}-a_n|$ se hace más pequeño con cada iteración desde cualquier punto de partida arbitrario $a_0$ . Si $a_{n+1}=a_n$ entonces es convergente, de lo contrario podemos partir de este hecho,
$$\left|\sin\left(\frac{a_{n+1}-a_n}{2}\right)\right| < \left|\frac{a_{n+1}-a_n}{2}\right|$$ El coseno sólo puede hacer más pequeño este término de la izquierda, ya que está acotado entre -1 y 1, por lo que no afecta a la desigualdad,
$$\left|\sin\left(\frac{a_{n+1}-a_n}{2}\right)\cos\left(\frac{a_{n+1}+a_n}{2}\right)\right| < \left|\frac{a_{n+1}-a_n}{2}\right|$$
Una identidad trigonométrica nos permite simplificar el lado izquierdo,
$$\left|\frac{\sin(a_{n+1})-\sin(a_n)}{2}\right| < \left|\frac{a_{n+1}-a_n}{2}\right|$$ Multiplicando ambos lados por 2 y escribiendo 0 de forma elegante $a_0-a_0$ que tenemos,
$$|-a_0+\sin(a_{n+1})+ a_0-\sin(a_n) | < |a_{n+1}-a_n|$$ Estos son los siguientes términos en la recurrencia, y esta diferencia es estrictamente menor que
$$|a_{n+2}-a_{n+1}| < |a_{n+1}-a_n|$$
Así que sí converge. El razonamiento real para resolver esto era empezar desde este extremo y trabajar hacia atrás hasta el principio.
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