Derivada direccional en $\mathbb{R}^2$

Question

Definición Sea $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ y $u \in \mathbb{R}^n$ sea un vector unitario. La dirección derivada direccional de $f$ en dirección a $u$ es

$$D_uf(j) = \displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{f(j+tu) - f(j)}{t}$$

siempre que exista este límite.

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Me estoy preparando para los exámenes de salida de verano de mi programa de posgrado. He visto el siguiente problema en mis apuntes, pero sin solución. Así que lo he intentado yo mismo. Estoy buscando la verificación de la solución. Por favor, corregidme si he cometido algún error.

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Ejemplo Supongamos que $f(x,y) = x^2+3xy+4y^2$ y $j =(2,1)$ y $u = \langle \frac{3}{5}, - \frac{4}{5} \rangle$ . Para encontrar $D_uf(j)$ encontramos el límite.

$$D_uf(j) = \displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{f(j+tu) - f(t)}{t} = \displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{f((2,1)+ t(\frac{3}{5}, \frac{-4}{5}))-f(2,1)}{t}$$

$$= \displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{f(2+\frac{3}{5}t, 1 - \frac{4}{5}t)-f(2,1)}{t}$$

$$= \displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{(2+\frac{3}{5}t)^2+3(2+\frac{3}{5}t)(1-\frac{4}{5}t) +4(1-\frac{4}{5}t)^2-[2^2-3(2)(1)+4(1)^2]}{t}$$

$$= \displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{( \frac{1337}{100}t^2+\frac{23}{5}t+14) - 2}{t} = \displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{\frac{1337}{100}t^2+\frac{23}{5}t+12}{t}$$

$$= \displaystyle\lim_{t \to 0} 13.37t + \displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{23}{5} + \displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{12}{t} = \frac{23}{5} + \infty$$

¿Cómo me deshago de este molesto $\frac{12}{t}$ ? Tal vez haya cometido algún error.

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EDITAR / ACTUALIZAR:

Esto sólo funciona si tenemos $f(x,y) = x^2-3xy+4y^2$ donde el segundo término es negativo en lugar de positivo. De este modo se obtiene

$$D_uf(j) = \displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{f(j+tu) - f(t)}{t} = \displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{f((2,1)+ t(\frac{3}{5},\frac{-4}{5}))-f(2,1)}{t}$$

$$= \displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{f(2+\frac{3}{5}t, 1 - \frac{4}{5}t)-f(2,1)}{t}$$

$$= \displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{(2+\frac{3}{5}t)^2-3(2+\frac{3}{5}t)(1-\frac{4}{5}t) +4(1-\frac{4}{5}t)^2-[2^2-3(2)(1)+4(1)^2]}{t}$$

$$= \displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{\frac{109}{25}t^2 -t +2 - [2]}{t} = \displaystyle\lim_{t \to 0} = \displaystyle\lim_{t \to 0} \Big( \frac{109}{25}t - 1 \Big) = -1$$

Answer 1

Tal vez puedas reconocer que $Df(\mathbf{x}_0)[\mathbf{u}] =g'(0)$ con la función escalar $g(t) = f(\mathbf{x}_0 + t\mathbf{u} )$ .

Denote $\mathbf{x}= \mathbf{x}_0 + t\mathbf{u}$ . Es sencillo demostrar utilizando la regla de la cadena que $g'(t) = \nabla_\mathbf{x}f(\mathbf{x}_0 + t\mathbf{u}):\mathbf{u}$ de lo que se puede deducir $$ Df(\mathbf{x}_0)[\mathbf{u}]= g'(0) = \nabla_\mathbf{x}f(\mathbf{x}_0):\mathbf{u} $$

En su solicitud $$ \nabla_\mathbf{x}f(\mathbf{x}_0) = \begin{pmatrix} 2x_0+3y_0 \\ 8y_0+3x_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 14 \end{pmatrix} $$ La derivada direccional es $\frac15 (7\cdot 3-14\cdot 4)=-7$

Aquí los dos puntos indican el producto interior entre vectores.

Answer 2

Obsérvese que la función propuesta $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ es un polinomio, por lo tanto $C^{\infty}$ .

En particular, es diferenciable.

Podemos entonces enunciar el siguiente resultado auxiliar:

Propuesta

Si la función $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ es diferenciable, entonces su derivada a lo largo de la dirección $v\in\mathbb{R}^{2}$ en el punto $p\in\mathbb{R}^{2}$ viene dada por la fórmula correspondiente: \begin{align*} D_{v}f(p) = f'(p)v \end{align*}

Prueba

Debido al hecho de que $f$ es diferenciable, el siguiente límite existe: \begin{align*} \lim_{h\to 0}\frac{|f(p + h) - f(p) - f'(p)h|}{\|h\|} = 0 \end{align*}

Por lo tanto, si hacemos el cambio de variable $h = tv$ resulta que \begin{align*} \lim_{t\to 0}\frac{1}{\|v\|}\frac{|f(p + tv) - f(p) - f'(p)tv|}{|t|} = \lim_{t\to 0}\frac{1}{\|v\|}\left|\frac{f(p + tv) - f(p)}{t} - f'(p)v\right| = 0 \end{align*} por lo que concluimos que $D_{v}f(p) = f'(p)v$ . En particular, puesto que $f'(p)$ es una transformación lineal, podemos tomar la base ordenada $\mathcal{B} := \{e_{1},e_{2}\}$ y la dirección $v = (v_{1},v_{2})$ para concluir que \begin{align*} D_{v}f(p) = f'(p)v & = f'(p)(v_{1}e_{1} + v_{2}e_{2})\\\\ & = v_{1}f'(p)e_{1} + v_{2}f'(p)e_{2}\\\\ & = v_{1}D_{e_{1}}f(p) + v_{2}D_{e_{2}}f(p)\\\\ & = v_{1}\frac{\partial f}{\partial x}(p) + v_{2}\frac{\partial f}{\partial y}(p) \end{align*}

Solución

Ahora queda aplicar el resultado mencionado al caso particular en el que $f(x,y) = x^{2} - 3xy + 4y^{2}$ .

¿Puedes seguir desde aquí?