Hora de salida de $\alpha$ -a un conjunto abierto y a su cierre

Question

Sea $W$ sea una simétrica $\alpha$ -proceso estable con su generador $-(-\Delta)^{\alpha/2}$ para algunos $\alpha \in (0, 2]$ en $\mathbb P$ . Sea $\mathbb P^x$ sea la medida de probabilidad inducida por un proceso $$X(t) = x + t + W(t)$$ a partir de $x$ y fijamos $$\hat \zeta = \inf\{t>0: X(t) \notin (-1, 1)\}, \quad \zeta = \inf\{t>0: X(t) \notin [-1, 1]\}.$$ Mi pregunta es

[P.] ¿Es $\mathbb P^x (\hat \zeta = \zeta) = 1$ válido para $\alpha \in (0, 1)$ ?

[comentario]

La respuesta debe ser positiva si $\alpha \ge 1$ . De hecho, se puede utilizar la propiedad de Markov fuerte y el operador de desplazamiento temporal para obtener $$\mathbb P^x(\hat \zeta = \zeta) = \mathbb P^x (\zeta \circ \theta_{\hat \zeta} = 0) = \mathbb E^x [ \mathbb P^{X(\hat \zeta)} (\zeta = 0)] = 1.$$ La última igualdad es cierta, ya que $\zeta = 0$ $\mathbb P^{x}$ -a.s para todos $x\notin (-1, 1)$ cuando $\alpha\ge 1$ .

Sin embargo, cuando $\alpha <1$ , $x = -1$ no es regular a $[-1, 1]^c$ es decir $\zeta>0$ se mantiene con casi total seguridad en $\mathbb P^{-1}$ . Por lo tanto, el argumento anterior ya no funciona, a menos que $\mathbb P^x(X(\hat \zeta) = -1) = 0$ que no me queda claro.

Gracias.

Answer 1

Si $\alpha < 1$ entonces $X$ tiene una variación limitada y una deriva positiva, por lo que no arrastrarse hacia abajo; véase el teorema 7.11 del libro de Kyprianou Conferencias introductorias sobre fluctuaciones de procesos de Lévy con aplicaciones . Esto significa que $$\mathbb{P}^x(X(\tau_{-1}) \ne -1) = 1,$$ para $x > -1$ donde $$\tau_{-1} = \inf \{t > 0 : X(t) \leqslant -1\}.$$ En particular $$\mathbb{P}^x(X(\hat\zeta) \ne -1) = 1,$$ y en consecuencia $$\mathbb{P}^x(\hat\zeta = \zeta) = 1.$$

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Editado: Como señala kenneth, el argumento anterior utiliza $\tau_{-1}$ definida con la desigualdad débil, mientras que el Teorema 7.11 del libro de Kyprianou tiene una desigualdad estricta, es decir, $$\tau_{-1^-} = \inf \{t > 0 : X(t) < -1\}.$$ Sin embargo, ¡llegar de allí hasta aquí no es inmediato!

La demostración del Teorema 7.11(i) implica el siguiente razonamiento: fuera de un suceso de probabilidad cero, $X(\tau_{-1^-}) = -1$ sólo si $\inf_{s \in [0, t]} X(s) = -1$ para algunos $t > 0$ y este último suceso tiene probabilidad cero debido a que el proceso escalera-alto descendente no tiene deriva (véase el Teorema 5.9 del libro).

El mismo argumento sirve para $X(\tau_{-1}) = -1$ y la prueba es, de hecho, algo más sencilla. Desgraciadamente, no tengo tiempo ahora para escribir los detalles.