Imagen de L^1 bajo la transformada de Fourier

Question

La transformada de Fourier $\mathcal{F}:L^1(\mathbb{R})\to C_0(\mathbb{R})$ es un mapa lineal inyectivo y acotado que no es onto. Se sabe (si no recuerdo mal) que el rango no es cerrado, pero es denso en $C_0$ . Todo lo que he leído/escuchado dice que la gama es "difícil de describir".

Pero, puesto que $\mathcal{F}$ es inyectiva y continua, la imagen de $L^1$ debe ser Borel dentro de $C_0$ . ¿Se sabe algo más sobre su complejidad descriptiva? Si no es así, ¿podría ser éste un ejemplo de conjunto natural de alto rango de Borel?

Este pregunta puede ser relevante. Gracias por cualquier información o referencia.

Answer 1

He aquí un intento, algo tosco, pero creo que funciona:

Afirmación: El rango de la transformada de Fourier $\mathcal{F}:L^1(\mathbb R)\to C_0(\mathbb R)$ es un conjunto de Borel en $C_0(\mathbb R)$ de la forma

\begin{equation} \bigcap_{k=1}^\infty \bigcup_{N=1}^\infty \bigcap_{m,n\geq N} E_{m,n,k} \end{equation}

donde cada $E_{m,n,k}$ es un $F_\sigma$ .

Prueba: Consideremos las funciones de corte $\{e^{-a\pi|t|}\}$ y fijar un secuencia $a_n\to 0$ . Es un hecho que una función $g\in C_0(\mathbb R)$ es la transformada de Fourier de algún $f\in L^1$ si y sólo si el secuencia \begin{equation} T_n(g)(x) := \int_{\mathbb R} e^{-a_n\pi |t|} g(t)e^{2\pi itx} dt \end{equation} es Cauchy en $L^1$ en cuyo caso si ponemos $f=\lim T_ng$ entonces $g =\widehat{f}$ . Sea $R$ denotan el rango de la transformada de Fourier en $C_0$ . Si definimos

\begin{equation} E_{n,m,k} = \lbrace g\in C_0: T_ng, T_mg\in L^1 ,{||T_n(g)-T_m(g)||}_1 \leq\frac{1}{k} \rbrace \end{equation}

entonces $R$ tiene la forma reclamada.

Para demostrar que $E_{m,n,k}$ es un $F_\sigma$ , poner $T_n(g)-T_m(g):=T_{mn}(g)$ explícitamente

\begin{equation} T_{mn}g(x):= T_ng(x)-T_mg(x) =\int_{\mathbb R} h_{mn}(x,t)g(t) dt \end{equation}

donde definimos

\begin{equation} h_{mn}(x,t) = (e^{-a_m\pi|t|} - e^{-a_n\pi|t|} )e^{2\pi itx} \end{equation}

Nótese que por convergencia monótona, $g\in E_{m,n,k}$ si y sólo si se cumplen dos condiciones: en primer lugar, para un $n$ necesitamos $T_ng\in L^1$ . Por convergencia monótona esto es equivalente a: Existe un número entero $N$ tal que para todos los números enteros $d\geq 1$ ,

\begin{equation} \left\| {\bf 1}_{[-d,d]}(x)T_ng(x)\right\|_1 \leq N. \end{equation}

Por convergencia dominada, el conjunto de todas estas $g$ obedeciendo esto para fijo $N,n,d$ es cerrado, por lo que el conjunto que obedece esto para algún $N$ y todos $d$ (con $n$ mantenida fija) es un $F_\sigma$ . Así, para $m,n$ el conjunto de $g$ para lo cual $T_ng, T_mg\in L^1$ es un $F_\sigma$ . Además, para todos los números enteros $d\geq 1$ necesitamos la condición

\begin{equation} \left\| {\bf 1}_{[-d,d]}(x) T_{mn} g(x)\right\|_1 \leq \frac{1}{k}. \end{equation}

Pero del mismo modo, el conjunto de $g$ obedeciendo esto para fijo $m,n,k,d$ está cerrado en $C_0(\mathbb R)$ y concluimos que cada $E_{m,n,k}$ es un $F_\sigma$ .

Answer 2

Parece que el argumento de Mike muestra que de hecho el rango $R$ de la transformada de Fourier es $F_{\sigma\delta}$ en $C_0(\mathbb R)$ . Definir la $T_ng$ como arriba, $$T_ng(x)=\int_{\mathbb R} e^{-a_n\pi\vert t\vert}g(t) e^{2i\pi tx}dt\;.$$ Entonces una función $g\in C_0(\mathbb R)$ está en $R$ si se cumplen dos condiciones:

(i) todos $T_ng$ están en $L^1$ ;

(ii) la secuencia $(T_ng)$ es Cauchy en $L^1$ .

La condición (i) se puede escribir de la siguiente manera: $$ \forall n\;\exists N\in\mathbb N\; \left ( \forall d\in\mathbb R_+ \;:\;\int_{-d}^d \vert T_ng(x)\vert dx\leq N\right)$$
Por convergencia dominada, la condición entre paréntesis es cerrada con respecto a $g$ por lo que (i) define un $F_{\sigma\delta}$ subconjunto de $C_0(\mathbb R)$ .

La condición (ii) reza $$\forall k\in\mathbb N\;\exists N \;\left(\forall p,q\geq N\; \forall d \;:\; \int_{-d}^d \vert T_pg(x)-T_qg(x)\vert dx\leq \frac 1k\right)$$ Por convergencia dominada de nuevo, la condición entre paréntesis es cerrada wrt $g$ por lo que (ii) define un $F_{\sigma\delta}$ subconjunto de $C_0(\mathbb R)$ .

En total, $R$ es la intersección de dos $F_{\sigma\delta}$ conjuntos, por lo que un $F_{\sigma\delta}$ subconjunto de $C_0(\mathbb R)$ . Me sorprendería mucho que fuera mejor que eso; es decir, "conjeturo" que no lo es. $G_{\delta\sigma}$ .