Límite del conjunto compacto

Question

Mi pregunta es:

Es el límite, $\partial K=\overline{K}\setminus \operatorname{int}(K)$ de cualquier subconjunto $K$ de cualquier espacio topológico $X$ ¿es necesariamente compacto?

Answer 1

No. Toma $A$ cualquier conjunto infinito y $x$ ser cualquier cosa que no esté en $A$ . Consideremos ahora el espacio $X = A \cup \{x\}$ con la topología en la que un conjunto es abierto si está vacío o contiene $x$ . Así $A$ tiene la topología discreta de un subespacio de $X$ y $\{x\}$ es compacto (ya que es finito). Pero $\overline{\{x\}} = X$ y $\{x\}^\circ = \{x\}$ Así que $\partial \{x\} = A$ que, al ser un espacio discreto infinito, no es compacto.