Ejercicio 5.40 John Lee ISM. $S \subset M$ es un conjunto de niveles de un mapa suave $\Phi : M \to N$ con rango constante, entonces $T_pS = Ker d\Phi_p$ .

Question

El siguiente es el Ejercicio 5.40 del ISM de John Lee.

Supongamos que $S \subset M$ es un conjunto de niveles de un mapa suave $\Phi : M \to N$ con rango constante. Demuestre que $T_pS = Ker d\Phi_p$ para cada $p \in S$ .

Me cuesta probar este resultado. Del Teorema 5.12 (Teorema del conjunto de niveles de rango constante) del txt, sé que $S$ es un submanifold correctamente incrustado. Creo que la prueba debería ser similar a la de la Proposición 5.38. Utilizando el hecho de que el mapa de inclusión $\iota: S \hookrightarrow M$ es una inmersión suave, puedo demostrar que como $\Phi \circ \iota$ es constante en $S$ Así que $d\Phi_p \circ d \iota_p$ es el mapa cero de $T_pS$ a $T_{\Phi(P)}N$ y, por lo tanto $Im d \iota_p \subset Ker d\Phi_p$ . Hasta aquí, es idéntica a la prueba de la proposición 5.38. Sin embargo $d\Phi_p$ es suryectiva como en la prueba, por lo que no puedo concluir que $Im d \iota_p = Ker d \Phi_p$ . Estoy perdido. Agradecería enormemente cualquier ayuda.

Answer 1

Supongamos que $\Phi$ tiene rango constante $k$ lo que significa que $\dim \text{im}\ d\Phi=k.$

Por el teorema del rango constante hay gráficos $(U,\varphi)$ en $p\in M$ y $(V,\psi)$ en $\Phi(p)=c$ tal que

$(\psi\circ\Phi\circ \varphi)^{-1}(r^1,\cdots,r^n)=(r^1,\cdots,r^k,0,0,\cdots, 0)$ .

Y como $\varphi(\Phi^{-1}(c))=(\psi\circ\Phi\circ \varphi^{-1})^{-1}(0),$ se deduce que $S$ desaparece en las coordenadas $x^i=r^i\circ \varphi:1\le i\le k$ .

Entonces, en estas coordenadas, $i(x^1,\cdots,x^n)=(0,\cdots 0, x^{k+1},\cdots,x^n)$ así que $\dim \text{im}\ di=n-k.$

Ahora, $n=\dim \ker \Phi+\dim \text{im}\ \Phi\Rightarrow \dim \ker \Phi=n-k=\dim \text{im}\ di.$