Duda sobre la varianza y la matriz de covarianza

Question

Tengo una duda general sobre la matriz de varianzas y covarianzas. Sé que la estructura general de la matriz de varianza y covarianza es tal que sus elementos diagonales representan la varianza y los elementos no diagonales representan la covarianza. Además, para un $2×2$ los elementos no diagonales representarán el mismo término de covarianza. Los términos diagonales no pueden ser negativos ya que representan el término de varianza. Entonces, mi duda es por qué la siguiente no puede ser una matriz de covarianza de varianza, ya que satisface todas las propiedades que es aplicable para tales matrices:

$\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$

Gracias.

Answer 1

Si $\mathrm{Cov}(X,Y)=2$ , $\mathrm{Var}(X)=1$ , $\mathrm{Var}(Y)=2$ entonces $$E(XY)-E(X)E(Y)=2$$ $$E(X^2)-E(X)^2=1$$ $$E(Y^2)-E(Y)^2=2$$ Ahora las medias pueden ser cualquier cosa sin afectar a la varianza, así que supongamos que $E(X)=E(Y)=1$ . Entonces obtenemos $E(XY)=3$ , $E(X^2)=2$ , $E(Y^2)=3$ . Pero entonces $E((X-Y)^2)=2-2\cdot 3+3<0$ lo cual es imposible.

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Si te preguntas de dónde ha salido, se inspira en una demostración de la desigualdad de Cauchy-Schwartz. (En general, la frase clave es que las matrices de covarianza deben ser semidefinidas positivas .) Nota $$0\le E[(X+aY)^2]=1+\mu_X^2+2a(2+\mu_X\mu_Y)+a^2(2+\mu_Y^2)=(\mu_X+a\mu_Y)^2+1+4a+2a^2$$ (donde $\mu_X=E(X)$ y $\mu_Y=E(Y)$ ). Pero si $a=-\mu_X/\mu_Y$ y $\mu_Y=1=\mu_X$ entonces es imposible.

Answer 2

Una matriz real es una matriz de covarianza si y sólo si es simétrica positiva semidefinida. Una consecuencia de esto es que todos los elementos diagonales deben ser no negativos. Por tanto, que los elementos diagonales no sean negativos es necesario para que una matriz sea una matriz de covarianza, pero no es suficiente.

De hecho, para ser una matriz de covarianza, la matriz debe ser simétrica y tener todos los valores propios no negativos. Los valores propios son las varianzas en el marco de coordenadas independiente (es decir, después de rotar la matriz para que sea diagonal). Así pues, para que una matriz simétrica real sea una matriz de covarianza, es necesario que todos sus valores propios sean no negativos (y no basta con que todos los elementos diagonales, es decir, las varianzas, sean no negativos, a menos que la matriz sea diagonal, en cuyo caso las varianzas, es decir, los elementos diagonales, son los valores propios).