¿Los cardenales de Shelah desempeñan un papel esencial en cualquier resultado de la teoría de conjuntos moderna o el concepto quedó básicamente obsoleto por los cardenales de Woodin?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No creo que los cardenales de Shelah se entiendan bien todavía, y no parece que se hayan estudiado mucho. Están más allá de los cardinales de Woodin, por lo que están más allá del umbral actual de "verdadera comprensión" que proporciona la teoría del modelo interno. Por esta razón, actualmente no se conocen resultados para los que los cardinales de Shelah sean óptimos desde el punto de vista de la consistencia. Pero la situación es un poco peor:
Se ha trabajado mucho en la comprensión de los cardenales de Woodin. Algunas pruebas se simplificarían a partir del uso de los cardinales de Shelah en los supuestos, pero a costa de la pérdida de conocimientos técnicos, por lo que esta dirección no se ha explorado realmente. (Por ejemplo, el libro de forzamiento adecuado de Shelah tiene un capítulo sobre las propiedades fuertes de los ideales en $\omega_1$ . Algunos de los resultados que hay utilizan la existencia de cardinales de Shelah. En los que yo he estudiado, la suposición "correcta" es la existencia de los cardinales de Woodin, aunque normalmente hay que hacer un trabajo no del todo rutinario para sustituir las hipótesis. Hoy en día, trabajamos directamente a partir de los cardinales de Woodin en lugar de partir de hipótesis menos óptimas). Y la verdad es que no tenemos buenos enunciados candidatos que esperemos sean equiconsistentes con los cardinales de Shelah.
Esto es muy diferente de cómo fue la situación con los cardenales de Woodin durante años. Por ejemplo, la existencia de un ideal saturado en $\omega_1$ se esperaba (correctamente) que fuera equiconsistente con la existencia de un cardenal de Woodin, pero la prueba tardó más de 20 años en llegar desde el momento en que estábamos en condiciones de esperar algo así.
Los cardenales de Shelah aparecen en algunas pruebas, por supuesto. Pero no como una herramienta esencial. Los ejemplos que conozco en la teoría de modelos internos son todos de la forma Queremos demostrar que alguna situación no puede ocurrir en un determinado escenario en el que tenemos algunos supuestos cardinales antigrandes en juego. Como parte del argumento, producimos algunos extensores y mostramos que atestiguan que algunos cardinales son Shelah, quedando así fuera del marco cardinal antigrande con el que estábamos trabajando. Desgraciadamente, estos argumentos están incrustados en un marco técnico que hace improbable que sobrevivan una vez que desarrollemos la teoría del modelo interno lo suficientemente bien como para llegar a los cardinales de Shelah. (Lo que quiero decir es que los argumentos utilizan suposiciones sobre argumentos de comparación, sobre secuencias de extensores, etc., que sólo son verdaderas si no hay cardinales de Woodin, o algo similar).
Parece que todavía no hay muchos trabajos que exploren la combinatoria de los cardinales de Shelah. Los siguientes son los únicos que conozco:
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MR1913018 (2003e:03104): Ernest Schimmerling. "Woodin cardinals, Shelah cardinals, and the Mitchell-Steel core model", Proc. Amer. Math. Soc. 130 (2002), no. 11, 3385-3391.
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MR1269896 (95d:03095): Toshio Suzuki. "Witnessing numbers of Shelah cardinals", Math. Logic Quart. 39 (1993), no. 1, 62-66.
Por supuesto, espero que la situación cambie a medida que comprendamos mejor la teoría del modelo interno.
