Grupo de Galois de un determinado campo de división

Question

Sea $f$ sea el polinomio mínimo para $\sqrt{3+\sqrt{2}}$ . Hallar el grupo de Galois del campo de división $K$ en $\mathbb{Q}$ .

Estos son los pasos que he dado.

1. El polinomio mínimo es $x^4-6x^2+7$ .
2. Las raíces de esto son $\pm \sqrt{3 \pm \sqrt{2}}$ .
3. Supongo que el grupo de Galois es... quizás $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ de forma análoga a como $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ es el grupo de Galois para $\mathbb{Q}(\sqrt{2+\sqrt{2}})$ pero no sé cómo mostrarlo.

Agradecemos cualquier sugerencia.

Answer 1

Sea $G=Gal(K/\mathbb{Q})$ .

Sugerencia : $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ se encuentra en $K$ y es una subextensión de Galois de $\mathbb{Q}$ . Es el campo fijo de $H=Gal(K/\mathbb{Q}(\sqrt{2}))$ Así pues $G/H \simeq Gal(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q})\simeq \mathbb{Z/2Z}$ .

El polinomio mínimo de $\sqrt{3+\sqrt{2}}$ en $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ es $x^2-(3+\sqrt{2})$ así que está bastante claro que $H\simeq \mathbb{Z/2Z}$ . Así que $G\simeq \mathbb{Z/4Z}$ o $(\mathbb{Z/2Z})^2$ .

Cuál sea dependerá de si $\sqrt{2}\mapsto -\sqrt{2}$ es un cuadrado en $G$ o no. ¿Puedes ver si puede ser un cuadrado?

Answer 2

Ésta es la técnica que finalmente he descubierto que funciona. Hay un teorema en la Sección V, Capítulo 4, Ejercicio 9 de Hungerford: Que nos permite clasificar las extensiones cuárticas biquadráticas: ¿El polinomio mínimo debe ser $x^4+ax^2+b$ podemos clasificar la extensión como tal:

1. Si $b$ es cuadrado, entonces el grupo de Galois es $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$ .
2. Si $b(a^2-4b)$ es cuadrado tenemos $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ .
3. Si no, tenemos $D_8$ . (Convención de Dummit & Foote, simetrías de un cuadrado).

La prueba no es relevante para responder a mi pregunta, así que queda descartada.

Un ejemplo de $1$ es el clásico $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ que es igual a $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$ que tiene un polinomio mínimo $x^4-10x^2+1$ . 1, es trivialmente un cuadrado.

Un ejemplo de $2$ es $\mathbb{Q}(\sqrt{2+\sqrt{2}})$ cuyo polinomio mínimo es $x^4-4x^2+2$ . Observe que $b(a^2-4b)= 16$ .

Mi pregunta es del tercer tipo, ni $b$ ni $b(a^2-4b)$ es un cuadrado. Podemos proceder de forma similar al ejercicio 16 de Dummit & Foote en 14.2.

Procederemos, como sugiere el Ejercicio resolviendo el polinomio y enumerando las raíces, let: $\alpha_1 = \sqrt{3+\sqrt{2}}$ , $\alpha_2 = -\sqrt{3+\sqrt{2}}$ , $\alpha_3 = \sqrt{3-\sqrt{2}}$ , $\alpha_4 = -\sqrt{3-\sqrt{2}}$ . Dos de estas raíces son reales y dos no.

Es fácil comprobar que sobre $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ los siguientes automorfismos: $\sigma:\alpha_1 \mapsto \alpha_2, \alpha_3 \mapsto \alpha_3$ y $\tau: \alpha_1 \mapsto \alpha_1, \alpha_3 \mapsto \alpha_4$ definen el grupo Klein-4 ( $V_4$ o $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ si lo prefiere).

Pero estos a su vez son más $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ que es de grado dos, por lo que tenemos un grupo de Galois de orden $8$ (tenemos que demostrar también que $\mathbb{Q}(\alpha_1),\mathbb{Q}(\alpha_3)$ y su compuesto es Galois, porque Galois sobre Galois no es Galois) en nuestras manos, que no es abeliano. Las únicas opciones son $Q_8$ y $D_8$ pero sólo $D_8$ tiene $V_4$ en su interior.