Cota superior de una expresión que implica una integral

Question

Sea $f$ sea una función tal que $|f(u)-f(v)| \leq |u-v|$ para todos $u$ y $v$ en el intervalo $[a,b]$ .

Demostrar que $$\left|\int_{a}^{b} f(x) dx- (b-a)f(c)\right| \leq\frac{(b-a)^2}{2}$$ donde $c\in [a,b]$ .

¿Es f continua?

Agradeceremos cualquier consejo o sugerencia.

Answer 1

Sugerencia

$$f(c)(b-a)=\int_a^b f(c)dx.$$

Answer 2

Como sugiere @Surd, tenemos

\begin{align} \left|\int_a^b f(x)\,dx - f(c)(b-a)\right| &= \left|\int_a^b f(x)\,dx - \int_a^b f(c)\,dx\right|\\ &= \left|\int_a^b (f(x) - f(c))\,dx\right|\\ &\le \int_a^b |f(x) - f(c)|\,dx\\ &\le \int_a^b |x-c|\,dx\\ &= \int_a^c(c-x)\,dx + \int_c^b (x-c)\,dx\\ &= \frac12(c-a)^2 + \frac12(b-c)^2\\ &\le \frac12(b-a)^2 \end{align}

porque

$$(c-a)^2 + (b-c)^2 \le (c-a)^2 + (b-c)^2 + \underbrace{2(c-a)(b-c)}_{\ge0} = \big((c-a) + (b-c)\big)^2 = (b-a)^2$$