Configuraciones de puntos y círculos

Question

Problema. Se dibujan varias circunferencias en el plano y todos los puntos de su intersección o contacto. Para lo cual $n$ es posible que cada círculo contenga exactamente $n$ puntos marcados y cada punto pertenece exactamente a $n$ ¿Círculos?

Ejemplos para $n=2,3$ son triviales. Para $n=4$ y $5$ sólo hay dos ejemplos conocidos en las figuras siguientes (aplicamos una inversión con un centro no situado en estas líneas para obtener las configuraciones requeridas). ¿Existen ejemplos para $n>5$ y otros ejemplos para $n=4,5$ ?

UPD $n=5$ ejemplo surge de la proyección estereográfica de $12$ vértices de un icosaedro y $12$ círculos que pasan por cualquier $5$ vértices incidentes en el mismo vértice. Ilya Bogdanov observó que $n=4$ ejemplo surge de la proyección estereográfica de la siguiente configuración de $10$ punto y $10$ círculos en la esfera. Considere poliedro que es un casco convexo de los siguientes $10$ puntos: un vértice de algún octaedro, $4$ puntos medios de las aristas incidentes con este vértice, $4$ centros de las caras incidentes con este vértice y el centro del octaedro; y $10$ círculos: $8$ círculos circunscritos de todas las caras del poliedro, el círculo a través de los puntos medios y el círculo a través de los centros de las caras.

Answer 1

Ésta es sólo una respuesta parcial.

Observa que en todos tus ejemplos hasta ahora, para cualquier par de puntos dado en tu dibujo, hay como mucho dos círculos que los contienen a ambos. Afirmo que no hay ningún ejemplo con $n \geq 6$ que tenga esta propiedad.

Suponiendo que existiera tal ejemplo, dibújalo (con todos los vértices dibujados -- sin puntos en el infinito). Tienes un grafo plano no simple $G$ no es sencillo porque algunos de sus vértices tienen dos aristas diferentes que los conectan. Podemos suponer $G$ es conexa, porque todo componente conexo de una configuración válida es también una configuración válida. Para cada par de vértices doblemente conectados en $G$ suprime una de las dos aristas que los conectan, de modo que el resultado es un grafo plano simple conexo $H$ .

Si tiene $v$ vértices, entonces también tiene $v$ círculos en su configuración. Cada círculo le da exactamente $n$ bordes en $G$ para un total de $vn$ bordes en $G$ . Esto significa que hay $\geq\! vn/2$ bordes en $H$ . Pero es bien sabido que, en un grafo plano, el número de aristas debe ser $\leq\! 3v-6$ . (Esta fórmula se puede encontrar, por ejemplo, aquí en Wikipedia). Si $n \geq 6$ entonces el número de aristas en $H$ est $\geq\! vn/2 \geq 3v$ Así que $H$ viola esta fórmula.