¿Cómo puedo demostrar la siguiente ecuación para el ángulo entre dos vectores?

Question

Soy nuevo en el foro de Matemáticas, espero que se acepten este tipo de preguntas. Este es un problema que tuve que resolver en una entrevista de trabajo, todavía no encuentro la respuesta, que supongo que es bastante básico.

Dados dos vectores $x,y$ , demostrar que el ángulo entre ellos se puede calcular como:

$$\theta = 2\arctan\left(\frac{\Big| |x| y- |y| x\Big|}{\Big| |x| y+ |y|x\Big|}\right)$$

Ya he intentado escribir $x$ y $y$ como vectores en el plano complejo, probé algunos "métodos" gráficos y utilizando varias identidades trigonométricas, pero nada me acercó a una ecuación similar a esa.

Una segunda pregunta se refería a las ventajas numéricas que ofrece esta fórmula con respecto a la habitual $\theta=\arccos\left(\frac{{x}\cdot{y}}{|x||y|}\right)$ . Pensé que $\arctan$ puede aceptar cualquier entrada, mientras que $\arccos$ los limita en $[-1,1]$ pero esto no parece una cuestión numérica. Además, veo una sustracción en la primera ecuación, lo que supongo que podría dar lugar a problemas de pérdida de significación. ¿Es realmente la primera ecuación numéricamente superior a la segunda?

Answer 1

$\|x\|$ y y $\|y\|x$ son dos vectores con la misma longitud.

Geométricamente formarían dos lados de un rombo, donde una de las diagonales es la longitud de $\|x\|y+\|y\|x$ a partir de la regla de adición del paralelogramo, y la otra longitud diagonal es la longitud de $\|x\|y-\|y\|x$ .

Las dos diagonales se cruzan en sus puntos medios formando un ángulo recto. Las diagonales bisecan las esquinas del rombo. Considera uno de los cuatro ángulos rectos del rombo,

$$\tan\frac\theta2 = \cfrac{\left\|\cfrac{\|x\|y-\|y\|x}{2}\right\|}{\left\|\cfrac{\|x\|y+\|y\|x}{2}\right\|}$$

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Para la pregunta 2, mi suposición estaría relacionada con el error de redondeo cuando $\theta$ ¿es pequeño? Entonces $\cos \theta$ estaría cerca de $1$ e invirtiendo $\cos$ Precisamente se necesitarían más cifras significativas.

Inspirado por el comentario del ley esférica de los cosenos sobre los errores de redondeo y la formulación alternativa de la ley de las haversinas.

Answer 2

Podemos suponer wlog, por homogeneidad, que $|x|=|y|=1$ entonces por una simple construcción geométrica obtenemos que

$$\frac{| |x|y- |y|x|}{| |x|y+ |y|x|} = \frac{| y- x|}{| y+ x|} =\frac{2\sin \frac \theta 2}{2\sin \left(\frac{\pi -\theta}2\right)}=\frac{\sin \frac \theta 2}{\cos \frac \theta 2}=\tan \frac \theta 2$$

Answer 3

Si divides arriba y abajo por $|x||y|$ la expresión se convierte en $$\theta = 2\arctan\left(\frac{|\hat y- \hat x|}{|\hat y +\hat x|}\right)$$ donde $\hat x$ indica el vector unitario en el $x$ dirección. Entonces la longitud del vector $\hat y+\hat x$ es $|\hat y+\hat x|=2\cos(\theta/2)$ y la longitud del vector $\hat y-\hat x$ es $|\hat y-\hat x|=2\cos(90-\theta/2)=2\sin(\theta/2)$ .

He dejado la explicación de la geometría para la siguiente figura toscamente dibujada. Nótese que $(\hat x+\hat y )\cdot(\hat x-\hat y)=0$ por lo que las dos rectas son perpendiculares. Otra forma de verlo es $2\hat x$ como diámetro y $\hat y$ como el radio de un círculo, entonces el ángulo entre éstos se convierte en el ángulo inscrito de un diámetro, que es un ángulo recto.

No tengo respuesta para la segunda parte de tu pregunta, ¿algo que ver con la estabilidad numérica para valores relativamente pequeños o grandes?