Sea $G$ sea un grupo de Lie y $g$ su álgebra de Lie. Denotamos por $\exp{X}$ el mapa exponencial para un elemento $X \in g$ y por $\mbox{Ad}$ la representación adjunta de $G$ en $g$ y $\mbox{ad}$ . Sea $m \subset g$ sea un subespacio invariante bajo todas las $\mbox{ad}(X)$ para $X \in g$ . ¿Me puede dar una prueba de que es invariante $\mbox{Ad}(\mbox{exp}(tX)$ para $X \in g$ y $t \in \mathbb{R}$ .
Respuesta
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Creo que la prueba se reduce a la fórmula $${\rm Exp}\,({\rm ad\,}X) = {\rm Ad}(\exp X),$$ donde ${\rm Exp}$ denota el mapa exponencial de ${\rm End}(g)\to {\rm GL}(g)$ . Esto se demuestra en la mayoría de los textos sobre grupos de Lie. Fijar algunos $X\in g$ y $t\in\mathbb{R}$ . Entonces, si $Y\in m$ , $$ {\rm Ad}(\exp tX)Y = {\rm Exp}\,({\rm ad\,}tX)Y = \sum_{k=0}^\infty \frac{({\rm ad}\,tX)^k}{k!}Y.$$ Debería ser sencillo comprobar $({\rm ad}\,tX)^kY/k!\in m$ para cada $k\geq 0$ por lo que las sumas parciales están en $m$ y, por tanto, toda la serie está en $m$ por la cerrazón. Así, ${\rm Ad}(\exp tX)m\subset m$ según se desee.
Cabe señalar que aquí he supuesto implícitamente que el álgebra de Lie es de dimensión finita.
