La identidad,
$$ -\gamma^b{\mathcal{R}}_{ab} = {\mathcal{R}}_{ab}\gamma^b = \frac{1}{2}\gamma^b R_{ab}$$ se presenta en la respuesta a la pregunta Ecuación de Dirac en la Relatividad General .
¿Cómo se demuestra la identidad?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Robin Ekman
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La dos-forma de curvatura se define por $$\newcommand{\Rcal}{\mathcal{R}} \Rcal_{ab} \Psi = [D_a, D_b] \Psi.$$ Aquí $D_a$ es la derivada covariante sin términos gauge . $\Rcal_{ab}$ toma valores en la representación de Dirac del álgebra de Lie de Lorentz. Así, realmente la relación es $$\mathcal R_{ab \alpha\beta} \Psi_\beta = [D_a, D_b] \Psi_\alpha$$ donde $\alpha, \beta$ son índices del espinor de Dirac. Compárese con el más familiar tensor de Riemann $$R_{ab}{}^\mu{}_\nu x^\nu = [D_a, D_b] x^\mu. $$ Dado que el tensor de Riemann es antisimétrico en $\mu,\nu$ podemos considerarla también como una 2-forma que toma valores en una representación del álgebra de Lie de Lorentz.. Por supuesto, esta representación es la representación de 4 vectores.
La representación de Dirac del álgebra de Lie se realiza mediante $$\epsilon_{\mu\nu} \mapsto \frac{1}{4} \epsilon_{\mu\nu}\gamma^\mu\gamma^\nu$$ que está bajo una transformación infinitesimal de Lorentz por $\epsilon_{\mu\nu}$ , $$\Psi \mapsto \Psi + \frac{1}{4} \epsilon_{\mu\nu}\gamma^\mu\gamma^\nu \Psi.$$ Esto significa que $$\Rcal_{ab} = \frac{1}{4}R_{abst}\gamma^s \gamma^t. $$
Definamos ahora el tensor de Ricci por $$R_{ab} = R_a{}^\mu{}_{\mu b} = R_{astb} g^{st}.$$ Entonces, a partir de la relación fundamental de anticonmutación de las matrices gamma, podemos escribir \begin{align} R_{ab} \gamma^b & = \frac{1}{2} R_{astb} (\gamma^s \gamma^t + \gamma^t \gamma^s) \gamma^b \\ & = \frac{1}{2} R_{astb}\gamma^s\gamma^t \gamma^b - \frac{1}{2} (R_{abst} + R_{atbs}) \gamma^t\gamma^s \gamma^b \tag{1}.\end{align} Aquí he utilizado la simetría del tensor de Riemann, $R_{astb} + R_{abst} + R_{atbs} = 0$ . Obsérvese que el primer término es precisamente $2\Rcal_{as}\gamma^s$ . Ahora $R_{atbs} = -R_{atsb}$ por lo que un reetiquetado de índices contraídos en el último término muestra que este término también contribuye $2\Rcal_{as}\gamma^s$ . Para el término medio, utilice la relación de anticonmutación para hallar $$\gamma^t \gamma^s \gamma^b = \gamma^b \gamma^t \gamma^s - 2g^{tb}\gamma^s + 2g^{sb}\gamma^t \tag{2}.$$ Por lo tanto, \begin{align}R_{abst}\gamma^t\gamma^s \gamma^b & = -R_{abts} \gamma^b \gamma^t \gamma^s - 2R_a{}^\mu{}_{s \mu} \gamma^s + 2R_a{}^\mu{}_{\mu t}\gamma^t \\ & = -\Rcal_{as}\gamma^s + 4R_{as}\gamma^s. \end{align}
Ahora tenemos que (1) es $$R_{ab}\gamma^b = 6 \Rcal_{ab}\gamma^b - 2R_{ab}\gamma^b$$ tan claramente $$\frac{1}{2}R_{ab}\gamma^b = \Rcal_{ab}\gamma^b \tag{3}$$ que es una de las identidades de tu pregunta. La otra se deduce del uso de las relaciones de anticonmutación y (3).
