Sea $\overline{\mathcal{C}}$ sea la categoría con objetos $(c,e)$ donde $c$ es un objeto de $\mathcal{C}$ y $e:c\to c$ es idempotente. Un morfismo $(c,e)\to(c',e')$ son los morfismos $f:c\to c'$ tal que $f=e'\circ f\circ e$ .
La incrustación envía $c$ à $(c,1_c)$ y un morfismo va a sí mismo.
Quiero demostrar que si la incrustación es una equivalencia, entonces $ \mathcal {C} tiene todos los colímites absolutos.
Pude demostrar que un colímite absoluto en $\text{Set}^{\mathcal{C}^{op}}$ es un repliegue de un representable.
Mi idea era demostrar que todo colímite absoluto es una división idempotente en $\text{Set}^{\mathcal{C}^{op}}$ y luego tratar de argumentar que es en $\overline{\mathcal{C}}\cong\mathcal{C}$ .
